«Геометрії» (1637) Декарт вперше ввів поняття змінної величини і функції, що корелює з його уявленнями про єдиному світі і ролі в ньому руху, зміни. Змінну величину Декарт розуміє двояко: як відрізок змінної довжини і постійного напряму - поточну координату точки, що описує своїм рухом криву, і як безперервну числову змінну, що пробігає сукупність чисел, що виражають цей відрізок. Двоякий образ змінної зумовив взаємопроникнення геометрії і алгебри. Дійсне число Декарт трактує як відношення будь-якого відрізка до одиничного (таке визначення було сформульовано лише І. Ньютоном). Негативним числах Декарт дає реальне тлумачення у вигляді направлених ординат. Декарт вводить систему позначення змінних величин, коефіцієнтів і ступенів, яка дійшла в практично незмінномуом вигляді до наших днів, і тому запис рівнянь у нього майже не відрізняється від сучасної.
Декарт поклав початок ряду досліджень властивостей рівнянь: сформулював правило знаків для визначення числа позитивних і негативних коренів, поставив питання про межі дійсних коренів, висунув проблему приводимості (представлення цілої раціональної функції з раціональними коефіцієнтами у вигляді твору двох функцій такого ж роду) і визначив, що рівняння 3-го ступеня вирішуване в квадратних радикалах і вирішується за допомогою циркуля і лінійки, коли воно приводиться.
З онтологічної ідеї Декарта про існування незалежної матеріальної протяжної субстанції народжується його підвищений інтерес до вивчення простору, його властивостей, його опису математичними, алгебраїчними методами. Звідси - один крок до з'єднання існували раніше роздільно дисциплін - алгебри і геометрії і створення нової галузі математики - аналітичної геометрії, що дозволяє вирішувати завдання обох математичних дисциплін.
В аналітичній геометрії, яку одночасно з Декартом розробляв П. Ферма, основним досягненням Декарта можна вважати створений ним метод координат. В область вивчення геометрії Декарт включив «геометричні» лінії, які можна описати рухами шарнірних механізмів. Він розробив спосіб побудови нормалей і дотичних до плоских кривих і застосував його, зокрема, до деяких кривим 4-го порядку, так званим овалам Декарта. У приватному листуванні містяться й інші відкриття Декарта: обчислення площі циклоїди, проведення дотичних до циклоїди, визначення властивостей логарифмічної спіралі.
Загалом «Геометрія» Декарта зробила величезний вплив на розвиток математики. З його ідей згодом виникло основне досягнення математики Нового часу - диференціальне та інтегральне числення, які були розроблені Г. Лейбніцем і І. Ньютоном і стали математичною основою класичної фізики.
Незвичайно важливим для науки того часу було виробити принципи ідеалізації. Першим до такої усвідомленої ідеалізації вдається Г. Галілей. Говорячи про основний елементарному процесі - русі, він припускає, що рівномірний рух по колу, раз почавшись, продовжується нескінченно, якщо цьому не перешкоджають зовнішні дії.
Декарт видозмінив і доповнив уявлення Галілея, сформулювавши два вихідних закону руху: «... одного разу прийшли в рух тіла продовжують рухатися, поки цей рух не затримається-якими зустрічними тілами» {1. С. 487], притому що «кожна частка матерії окремо прагне продовжувати подальший рух не по кривій, а виключно по прямій ...» [1. С. 487].
Ці два положення, з'єднані ...
