ожуть бути елементи, що належать будь-якому ієрархічному рівню, крім останнього. Парні порівняння проводяться в термінах домінування [26]. Домінування одного елемента над іншим виражається за допомогою шкали відносин.
Заповнення квадратних матриць парних порівнянь здійснюється за наступним правилом. Якщо елемент A домінує над елементом B, то клітина матриці, відповідна рядку A і стовпцю B, заповнюється цілим числом, а клітка, відповідна рядку B і стовпцю A, заповнюється зворотним до нього числом і навпаки, тобто матриця назад-симетрична.
Таким чином, матриця парних порівнянь прийме вигляд:
.3.4 Обчислення вектора пріоритетів
Якщо А-матриця значень парних порівнянь, то для знаходження вектора пріоритетів можна сформулювати [27] таку задачу:
Доведемо, що це так.
Припустимо [27], що-елементи деякого рівня ієрархії. Визначимо ваги їх впливу на елемент наступного рівня. Нехай матриця значень, відповідна значущості елемента, яка є обернено-симетрична, то є. Таким чином, А-узгоджена:.
(2)
Тоді Розглянемо матричне рівняння
Де і, яке відповідає системі рівнянь:
З (2) отримуємо:
Отже,
Або
Що еквівалентно висловом
(3)
У теорії матриць ця формула відображає те, що - власний вектор матриці А з власним значенням n.Рассмотрім наступні два факти.
. якщо числа, задовольняють рівняння
Тобто є власними значеннями матриці А, і якщо, то
Тому, якщо має місце (3), то всі власні значення-нулі, крім одного, який дорівнює n. У Випадку узгодженості n-найбільше власне значення А.
. Якщо елементи назад симетричною матриці А є позитивними незначно змінити, то власні значення також зміняться незначно.
З фактів випливає, що якщо діагональ матриці А складається з одиниць і вона погоджена, то при малих змінах в найбільше власне значення залишається близьким до n, а інші власні значення - близькими до нуля. Що й потрібно було довести.
Для позитивної квадратної матриці А власний вектор, що відповідає максимальному власному значенню, з точністю до постійного сомножителя C можна обчислити [2] за формулою
(4)
Де
С-константа,
Т-знак транспонування. Обчислення власного вектора за виразом (4) проводяться до досягнення заданої точності.
Максимальна власне значення обчислюється за формулою:
.3.5 Узгодженість матриці парних порівнянь
У практичних завданнях однорідність суджень порушується, що пов'язано з такими людськими якостями як втома, неуважність, незнання і т.д. Узгодженість позитивної назад-симетричною матриці A еквівалентна вимогу рівності її максимального власного значення з n.
Однорідність суджень оцінюється індексом однорідності (ІС)
або відношенням узгодженості (ГО)
Де М (ІС) - середнє значення (математичне очікування) індексу однорідності. Середнє значення індексу однорідності залежить від порядку матриці як показано в таблиці 9.
Таблиця 9 - М (ІС) для
Порядок матриці (n) М (ІС) 10,0020,0030,5840,90 Прийнятним вважається.
.3.6 Аналіз ієрархії
Аналіз ієрархії на малюнку 2.1 починається з побудови матриць парних порівн...
