]
Звичайна для задач класу II ситуація зображена на рис. 2. Тут l? M, якщо рішення повинні добре себе вести, так як тільки в цьому випадку L (l)-L (m)? 0. (L (m) - тепер спадна функція від m.) Тепер
(1.7.3)
де С - константа, обумовлена, якщо це можливо, з умови нормування Інші нормовані рішення знаходяться зі співвідношення
(1.7.4)
Залежно від того, чи є L (m) зростаючої або спадною функцією від т, задача відноситься до класу I або класу II. Якщо l і m змінюються при факторизації ролями, то завдання класу I переходить в завдання класу II або навпаки. Іншими словами, факторизація, яка призводить до рекурентним співвідношенням, що зв'язує різні l, очевидно, еквівалентна факторизації класу II. Тому відмінність між класами I і II є не властивістю власних функцій, а скоріше властивістю самої факторизации. Буде показано, що для сферичних гармонік корисно знати обидві факторизации, в той час як для більшості інших завдань істотна лише одна факторизація, а саме та, яка дає фізично правильну нормировку.
2. Рівняння математичної КОЛИВАНЬ
.1 Потенційна яма кінцевої глибини
Малюнок 4 - Потенційна яма кінцевої глибини
Математичне формулювання завдання Одномірне рівняння Шредінгера в даному випадку має вигляд
(2.1.1)
Потенційна енергія задається наступною функцією:
(2.1.2)
Хвильова функція повинна задовольняти стандартних умов - бути кінцевою, однозначною і безперервної разом зі своєю першою похідною. При підстановці U (x) в (1) останнє розпадається на 3 рівняння: в інтервалах (-?, 0) (на рис. Позначений?), [0, L] (позначений,) і (L, +?) (? ):
?
, (2.1.3)
?
Як було сказано вище, хвильова функція повинна бути безперервною разом зі своєю першою похідною, тому граничні умови записуються наступним чином:
(2.1.4)
Нарешті, слід врахувати, що можливі два випадки:
) Е < 0 і 2) E> 0, що істотно відрізняються один від одного. При E < 0 можливі стану, коли частка не може бути виявлена ??поза потенційної ями. У другому випадку зв'язані стани не виникають.
Розглянемо рішення рівняння, коли E < 0
Попередньо змінимо початок відліку енергії e=+ E (0? e? U0) і позначимо
(2.1.5)
Зауважимо, що b 2? 0, так як E? 0, а k2? 0, оскільки e? 0. Рівняння (2.1.3) при цьому набувають дуже просту форму:
(2.1.6)
Рішення отриманих рівнянь добре відомі:
(2.1.7)
Хвильові функції повинні бути кінцевими, тому слід прирівняти нулю коефіцієнти B і a: при x ® -? y1 (x) ® +? (Be-kx звертається в нескінченність), а при x ® +? y2 (x) ® +? (Звертається в нескінченність aekx). Таким чином,
(2.1.8)
З граничних умов (4) слід
(2.1.9)
Ділення в кожному рядку рівнянь (2.1.9) другий формули на першу дає
(2.1.10)
Переходячи до синусам (для sin (kL + d) обчислення аналогічні):
(2.1.11)
...
