янути основне логарифмічна тотожність.
Розглянемо рівняння 2х=4, вирішимо його графічно. Для цього в одній системі координат побудуємо графік функції у=2х і пряму у=4 (рис. 213). Вони перетинаються в точці А (2; 4), значить, х - 2 - єдиний корінь рівняння.
Міркуючи точно так само, знаходимо корінь рівняння 2х=8 (див. рис. 213): х=3.
А тепер спробуємо вирішити рівняння 2х=6; геометрична ілюстрація представлена ??на рис. 213. Ясно, що рівняння має один корінь, але на відміну від попередніх випадків, де коріння рівнянь були знайдені без праці (причому їх дуже легко було знайти і не користуючись графіками), з рівнянням 2х=6 у нас виникають труднощі: за кресленням ми не можемо визначити значення кореня, можемо тільки встановити, що цей корінь укладений в проміжку від 2 до 3.
З подібною ситуацією ми вже зустрічалися в § 39, коли, вирішуючи рівняння х4=5, зрозуміли, що треба вводити новий символ математичної мови. Обдумуючи ситуацію з показовим рівнянням 2х=6, математики ввели в розгляд новий символ log2, який назвали логарифмом по підставі 2 і за допомогою цього символу корінь рівняння 2х=6 записали так: х=log2 6 (читається: «логарифм числа 6 по підставі 2 »). Тепер для будь-якого рівняння виду 2х=b, де b gt; 0, можна знайти корінь - їм буде число log2 b.Ми говорили про зрівняння 2х=6. З рівним успіхом ми могли говорити і про рівняння 3x=5, і про рівняння 10x=0,3 і про рівняння, і взагалі про будь рівнянні виду ax=b, де а і b -позитивних числа, причому аx=1. Єдиний корінь рівняння аx=b математики домовилися записувати так: x=logab (читається: «логарифм числа b по підставі а»).
До речі, повернемося до рівняння, яке зустрілося нам в прикладі 4 §46 і яке ми не змогли вирішити. Тепер відповідь ясна:
Визначення. Логарифмом позитивного числа b по позитивному і відмінному від 1 підставі а називають показник ступеня, в яку потрібно звести число а, щоб отримати число b.
Наприклад,
так як 23=8;
, так як 3-3 =;
, так як - 2=25;
, так як=2.
Особливо виділимо трьох формули (спробуйте їх обгрунтувати, це дуже просто)
Наприклад,
Для числа log2 6, яке зустрілося нам на початку параграфа, точного раціонального значення ми вказати не можемо, оскільки log2 6 - ірраціональне число. Доводиться це досить красиво.
Припустимо, що log26 раціональне число.
Остання рівність неможливо, оскільки його права частина є ціле число, яке ділиться без залишку на 3, а ліва частина ділитися без залишку на 3 ніяк не може.
Отримане протиріччя означає, що наше припущення невірно і, отже, log26 - ірраціональне число.
Ми дали визначення логарифма на звичайній мові, а тепер наведемо те ж визначення мовою символів
У насправді, що треба підставити замість x у рівність аx=b? Яке число повинне знаходитися в показнику ступеня, в яку треба звести число a, щоб отримати число b? Відповідь випливає з даного вище визначення: цим показником є ??logа b. Значить, замість x треба підставити число logа b, що ми і зробили.
Наприклад,
Підкреслимо, що logаb=с і ас=b - одна і та ж математична модель (одна і та ж залежність між числами а, b і с), але тільки друга описана на простішому мовою (використовує більш прості символи), ніж перша.
Операцію знаходження логарифма числа зазвичай називають логарифмування. Ця операція є зворотною по відношенню до зведення в ступінь з відповідним підставою.
Порівняйте:
Піднесення до степеньЛогаріфмірованіе52=25103=1000 0,34=0,0081
Обчислення значення логарифма зводиться, як правило, до вирішення деякого показового рівняння.
Приклад.
Обчислити
Рішення. а) Покладемо: log4128=x. Тоді за визначенням логарифма 4x=128. Вирішуючи це показове рівняння, послідовно знаходимо:
x=27, 2х=7, х=3,5.
б) Покладемо:
Вирішуючи це показове рівняння, послідовно знаходимо
в) Покладемо
Вирішуючи це показове рівняння, послідовно знаходимо:
Логарифм по підставі 10 зазвичай називають десятковим логарифмом. Так, log10 5, log10 3,4 - десяткові логарифми. Замість символу log10 прийнято використовувати символ так, замість log10 5...
