> 3. Трансцендентні числа Ліувілля
На дійсній прямій крім алгебраїчних чисел вмістилося ще одну безліч, потужність якого збігаються з потужністю всій прямій - це безліч трансцендентних чисел.
Визначення 6 [1, стор. 271 ] : Кількість, яка не є алгебраїчним, називається трансцендентним , тобто Трансценд? нтное число? (Лат. Transcendere - переходити, перевершувати) - це речовий або комплексне число, яке не може бути коренем многочлена (не рівне тотожне нулю) з раціональними коефіцієнтами
Властивості трансцендентних чисел:
· Безліч трансцендентних чисел континуально.
· Кожне трансцендентне дійсне число є ірраціональним, але зворотне невірно. Наприклад, число - ірраціональне, але не трансцендентне: воно є коренем многочлена (і тому є алгебраїчним).
· Порядок на безлічі речових трансцендентних чисел ізоморфний порядку на безлічі ірраціональних чисел.
· Міра ірраціональності майже всякого трансцендентного числа дорівнює 2.
Вперше існування трансцендентних чисел доведено Ліувілль. Доказ існування трансцендентних чисел у Лаувілля ефективно; на основі наступної теореми, що є безпосереднім наслідком теореми 5, будуються конкретні приклади трансцендентних чисел.
Теорема 6 [3, стор. 54].: Нехай a - дійсне число. Якщо для будь-якого натурального n ? 1 і будь-якого дійсного c gt; 0 існує хоча б одна раціональна дріб, така, що (11), то a - трансцендентне число.
Доказ: Якби a було алгебраїчним, то знайшлося б (теорема 5) ціле позитивне n і дійсне c gt; 0 такі, що для будь дробу було б, а це суперечить тому, що має місце (11). Припущення, що a алгебраїчне число, тобто трансцендентне число. Теорема доведена.
Числа a , для яких за будь-яких n ? 1 і c gt; 0 нерівність (11) має рішення в цілих числах a і b називаються трансцендентними числами Лиувилля.
Тепер у нас є засіб для побудови дійсних чисел, які не є алгебраїчними. Потрібно побудувати число, що допускає наближення як завгодно високого порядку.
Приклад :
1)
a - трансцендентне число.
Візьмемо довільні справжні n ? 1 і c gt; 0. Нехай, де k вибрано настільки великим, що і k ? n , тоді
Оскільки для довільних n ? 1 і c gt; 0 можна знайти дріб таку, що, то a - трансцендентне число.
Задамо число у вигляді нескінченної десяткового дробу: де
Тоді, для будь-якого, де,. Таким чином, а це означає, що допускає наближення як завгодно високого порядку і тому не може бути алгебраїчним.
У 1873 році Ш. Ерміт довів трансцендентність числа e , підстави натуральних логарифмів.
Для доказу трансцендентності числа e будуть потрібні два леми.
Лемма 1. Якщо g ( x ) - многочлен з цілими коефіцієнтами, то для будь-якого k < b> N всі коефіцієнти його k - ой похідною g ( k ) ( x ) діляться на k !.
Доказ. Так як оператор d/dx лінійний, то твердження леми досить перевірити тільки для многочленів виду g ( x )= x s, s 0.
Якщо k gt; s , то g (k) ( x )=0 і k ! | 0.
Якщо k lt; s , то
біноміальний коефіцієнт є цілим числом і g (k) ( x ) знову-таки ділиться на k ! остачі.
Лемма 2 (Тотожність Ерміта) [3, стор. 55]. Нехай f ( x ) - довільний многочлен ступеня k з дійсними коефіцієнтами, ( x )= f ( x ) + f ( x ) + f » ( x ) + ... + f (k) ( x ) - сума всіх його похідних. Тоді для будь-якого дійсного (і навіть комплексного, але нам це поки не знадобиться) x виконано:
(12)
Доказ. Інтегруємо по частинах:
Інтеграл знову інтегруємо по частинах, і так далі. Повторивши цю процедуру k +1 раз, отримаємо:
Теорема 7 (Ерміт, 1873) [1, стор. 274]. ...
