, відповідні комплексно сполученим коріння многочлена, і формула Хевісайда прийме вигляд
, (17.3)
де перша сума поширена на всі речові коріння многочлена, друга - на всі його комплексні корені з позитивними уявними частинами.
Зауваження 2. Кожен член формули (17.1) являє собою записане в комплексній формі коливання, де. Таким чином, речовим коріння () відповідають аперіодичні коливання, комплексним коріння з негативними речовими частинами - затухаючі коливання, чисто уявним коренів - незгасаючі гармонійні коливання. p> Якщо знаменник не має коренів з позитивними речовими частинами, то при досить великих значеннях отримаємо сталий режим:
, (17.4)
де
;
- чисто уявні корені многочлена з позитивними уявними частинами.
Коливання, відповідні коріння з негативними речовими частинами, експоненціально загасають при і тому не входять в сталий режим. p> Приклад 1. Знайти оригінал зображення
.
В
Рішення. Маємо. Випишемо корені многочлена:. p> За формулою (17.1)
.
Тут,, так як числа - корені рівняння. Отже,
.
Приклад 2. Знайти оригінал зображення
,
де а > 0;.
Рішення. Тут функція, крім очевидного кореня, має нескінченно багато коренів, які є нулями функції. Вирішуючи рівняння, отримаємо, звідки
. br clear=all>
Таким чином, коріння знаменника мають вигляд і, де
Далі запишемо br/>
;
В
;
В
За формулою (17.3) знаходимо оригінал
В В
В§ 18. Операторний метод рішення диференціальних рівнянь
Диференціальні рівняння. Розглянемо задачу Коші для лінійного диференціального рівняння
(18.1)
(тут) з початковими умовами
. (18.2)
Переходячи в (18.1) до зображень, в силу лінійності перетворення Лапласа будемо мати
. (18.3)
Зображення похідних, використовуючи теорему 3 В§ 16 і початкові умови (18.2), запишемо у вигляді
. (18.4)
Підставивши (18.4) в (18.3), після нескладних перетворень отримаємо операторний рівняння
, (18.5)
де (характеристичний многочлен); . p> З рівняння (18.5) знайдемо операторний рішення
. (18.6)
Рішенням задачі Коші (18.1), (18.2) є оригінал операторного рішення (18.6):
В
Для завдання Коші в прийнятих позначеннях можна записати
;
;
.
Операторний рівняння має вигляд
.
розкладемо операторний рішення на найпростіші дроби:
В
.
За допомогою формул, отриманих у В§ 15, отримаємо оригінали:
.
Таким чином, рішення задачі Коші буде мати вигляд
.
Приклад 1. Вирішити завдання Коші для диференціального рівняння з початковими умовами, де. p> Рішення. Запишемо операторний рівняння
.
Його рішення має вигляд
.
Використовуючи теорему 2 В§ 16, послідовно знайдемо:
В
В
.
Приклад 2. Вирішити завдання Коші для диференціального рівняння з нульовими початковими умовами, де - ступінчаста імпульсна функція.
Рішення. Запишемо операторний рівняння
В
і його рішення
.
З теореми 2 В§ 16 слід
;
в Відповідно до теореми запізнювання (В§ 15)
.
Остаточно,
.
Приклад 3. На точку масою т , прикріплену до пружини жорсткістю з і що знаходиться на гладкій горизонтальній площині, діє періодично змінюється сила. У момент часу t точка піддалася удару, несучого імпульс. Нехтуючи опором, знайти закон руху точки, якщо в початковий момент часу вона спочивала на початку координат. p> Рішення. Рівняння руху запишемо у вигляді
,
де - пружна сила; - функція Дірака. Вирішимо операторний рівняння
,
де. При
В
.
Якщо (випадок резонансу), то
.
За теоремою запізнювання
.
Остаточно,
В
Інтеграл (Формула) Дюамеля. Розглянемо задачу Коші для рівняння (18.1) при початкових умовах . Операторний рішення в цьому випадку має вигляд
.
Нехай вагова функція - оригінал для. тоді за теоремою 1 В§ 16 отримаємо
. (18.7)
Співвідношення (18.7) називається інтегралом (формулою) Дюамеля. p> Зауваження. <...
