називають безліччю "вимірним в сенсі Лебега", або, коротше, "вимірним (L)".
Якщо безліч E незмірно, то про його мірою не можна говорити, і символ mE для нас позбавлений сенсу. Зокрема, невимірними ми вважаємо все необмежені множини.
Теорема 1. Відкрите обмежене безліч вимірно і його знову певна міра співпадає з заходом.
Цей результат є безпосередній наслідок теореми 1. Точно також з теореми 2, випливає наступна теорема:
Теорема 2. Замкнутий обмежене безліч вимірно і його знову певна міра співпадає з введеною.
З слідства теореми 7, випливає:
Теорема 3. Якщо Е є обмежена безліч, що міститься в інтервалі D, безлічі Е і С D Е одночасно вимірні чи ні.
З зіставлення теорем 5 і 6 попередньої теми слід:
Теорема 4. Якщо обмежене безліч Е є сума кінцевого числа або лічильного безлічі вимірних множин, попарно не мають точок,
(Е k Е k ' = 0, k В№ k'),
то безліч Е вимірно і
В
Д про до а із а т е л ь с т в о випливає з наступного ланцюга нерівностей:
В
Доведене властивість заходи називається її повної аддитивностью.
В останній теоремі істотно було, що окремі доданки попарно не перетинаються. Позбудемося цього обмеження, поки, втім, для випадку кінцевого числа доданків множин.
Теорема 5. Сума кінцевого числа вимірних множин є вимірна множина.
Д о к о з а т е л ь с т в о. Нехай причому безлічі
E k (k = 1, 2, ..., n) вимірні. p> Візьмемо довільне e> 0 і побудуємо для кожного k таке замкнуте безліч F k і таке відкрите обмежене безліч G k , щоб було
F k ГЊ E k ГЊ G k , mG k - mF k <(k = 1, 2, ..., n).
В
Зробивши це, покладемо
Очевидно, що безліч F замкнуто, а G відкрито і обмежена, і що
F ГЊ E ГЊ G, звідки випливає, що
mF ВЈ m * E ВЈ m * E ВЈ mG. ( * )
Але безліч G - F відкрито (бо його можна представити у формі
G В· CF) і обмежена. Значить, це безліч вимірюється. Безліч F також вимірно, а тому, оскільки
G = F + (G - F)
і безлічі F і G - F не перетинаються, можна застосувати попередню теорему, що дає mG = mF + m (G - F), звідки
m (G - F) = mG - mF.
Аналогічно ми встановимо, що
m (Gk - Fk) = mGk - mFk (k = 1, 2, ..., n).
Зазначимо тепер легко проверяемое включення
G-F (G k -F k ).
Усі вхідні сюди безлічі відкриті і обмежені, так що, на підставі теорем В§ 1, ми маємо
m (G-F)
або
mG - mF Звідси і з (*) випливає, що m * E - m * E
