рівняння системи представлені в нормальній формі, то вектор стану системи однозначно визначає її стан. Кожному стану системи в просторі станів відповідає точка. Точка, відповідна поточному стану системи, називається зображає крапкою. При зміні стану зображає точка описує траєкторію. Ця траєкторія називається фазовою траєкторією. Сукупність фазових траєкторій, відповідна всіляким початковим умовам, називається фазовим портретом. p align="justify"> Наочно фазову траєкторію і фазовий портрет можна представити у випадку двомірного фазового простору. Двомірне фазовий простір називається фазовою площиною. p align="justify"> Фазова площина - це координатна площина, в якій по осях координат відкладаються дві змінні (фазові координати), однозначно визначають стан системи другого порядку. Метод аналізу і синтезу системи управління, заснований на побудові фазового портрету, називають методом фазової площини. p align="justify"> Розглянемо загальний порядок побудови фазового портрету динамічної системи
= ax + by
= cx + dy (1)
1. Виписати матрицю коефіцієнтів системи (1):
M =,
знайти її слід tr M (a + d) і визначник матриці det M (ad - bc)
2. Використовуючи малюнок 7.1, визначити тип особливої вЂ‹вЂ‹точки.
3.Найті рівняння особливих управлінь = 0 і = 0.
y =? x =? x.
4. Якщо особлива точка є сідлом або вузлом, то знайти асимптоти, використовуючи підстановку y = kx.
. Визначити напрямок фазових траєкторій.
Крім описаного вище способу визначення типу особливої вЂ‹вЂ‹точки, тип особливої вЂ‹вЂ‹точки можна визначити, знаючи коріння характеристичного рівняння.
У таблиці 7.1 наведені тимчасові характеристики, фазові портрети і типи особливих точок при різних коренях характеристичного рівняння.
В
Малюнок 7.1. Залежність типу особливої вЂ‹вЂ‹точки від визначника й сліду матриці коефіцієнтів динамічної системи. <В
Таблиця 7.1. Тимчасові характеристики, фазові портрети і типи особливих точок при різних коренях характеристичного рівняння. br/>
Отже, розглянемо знайдену в п.4 даної роботи лінеаризовану систему
u? + 0,7 u + z + 1,6 = 0,
де z = y (t), u = z? = Y? (T), u? = Y?? (T). p align="justify"> Запишемо еквівалентну систему диференціальних рівнянь
= u
=? 0,7 u - z
(вільний член Обнуляємо).
. Записуємо матрицю коефіцієнтів системи
M =
Визначник матриці det M = 0? (? 0,7)? 1? (? 1) = 1
далі матриці tr M = 0 + (? 0,7) =? 0,7
. Оскільки визначник матриці позитивний, а слід матриці...
