=? 0,7, і виконується умова det M> (tr M/2) 2, то особлива точка є стійким фокусом (див. Рисунок 7.1). p> Порівнюючи із залежністю особливої вЂ‹вЂ‹точки від коренів характеристичного рівняння (Л1, 2 =? 0,35 В± i? 0,937), можна підтвердити, що особлива точка - стійкий фокус.
. Рівняння особливих напрямків
y =? x =? 0/1? x = 0
y =? x =? ()? x =? 1,429 x
Першу пряму фазові траєкторії перетинають у вертикальному напрямку, а другу - в горизонтальному.
. Оскільки особлива точка є стійким фокусом, то фазові траєкторії спрямовані до точки (0, 0). Необхідно з'ясувати, в якому напрямку відбувається закручування фазової траєкторії: за або проти годинникової стрілки. p> Обчислимо вектор швидкості (;) в точці (1, 0).
u? = br/>
Координати вектора x = 0, у =? 0,7? 0? 1 =? 1. Маємо вектор швидкості (-1; 1). Таким чином, вектор швидкості спрямований вгору, і, отже, спіраль закручується за годинниковою стрілкою. p> На малюнку 7.2 представлені графіки прямих y = 0 і y =? 1,429 x, на малюнку 7.3 представлені фазові траєкторії сталого фокусу.
В
Малюнок 7.2. Графіки прямих y = 0 і y =? 1,429 x
В
Малюнок 7.3. Фазовий портрет сталого фокусу. br/>
8. Дослідити асимптотическую стійкість стану рівноваги системи відповідно з першим методом Ляпунова
Призначенням систем управління є підтримка деякого заданого режиму, званого необуреним рухом. Якщо на систему діє обурення, то фактичний рух (яке називається обуреним рухом) відрізнятиметься від незбуреного руху. Невозмущенное рух називається асимптотично стійким, якщо після закінчення дії обурення збурений рух y (t) з часом прагне до необуреному руху yн (t): y (t)? yн (t) при t? ?. p> Лінійна система управління називається стійкою або асимптотично стійкою, якщо будь-яке її невозмущенное рух, яке визначається заданою дією, асимптотично стійко.
Як вже зазначалося вище, практично всі системи управління є нелінійними, а лінійні системи управління слід розглядати як наближені, лінеаризовані моделі нелінійних систем.
Лінеаризація виробляється щодо заданого номінального режиму y0 (t), званого в теорії стійкості необуреним рухом. Невозмущенное рух y0 (t) нелінійної системи називається асимптотично стійким, якщо існує деяка околиця навколо незбуреного руху така, що будь-яке збурений рух y (t), що починається в момент часу t0 закінчення дії обурення в цій околиці, надалі не виходить з цього кола і y (t)? y0 (t) при t? ?. p> Питання про те, чи можна судити про асимптотичної стійкості незбуреного руху нелінійної системи на підставі дослідження стійкості її линеаризованной моделі, вперше було поставлено і вирішено А.М. Ляпуновим в 1892 р. в його дисертаційній роботі. p> Для дослідження стійкості систем А.М. Ляпунов розробив два методи. Під першим методом Ляпунова розуміють сукупність прийомів і засобів дослідження стійкості розв'язків систем диференціальних рівнянь, заснован...
