ла на 7 дорівнює 2. Знайдіть залишок від ділення цього числа на 14. p>
Міркування учня: 9 = 7 Г— 1 + 2. 9 = 14 Г— 0 + 9. Залишок дорівнює 9.
Аналіз помилки: Це типова помилка при вирішенні завдань на подільність: необгрунтоване узагальнення . Учень розглянув лише одне число, яке задовольняє умовам. При якомусь іншому числі може вийти залишок, відмінний від 9. Недостатньо знайти правильну відповідь, треба ще довести, що всі інші будуть неправильними.
У завданнях на подільність є два найбільш часто вживаних методу розв'язку:
1) розбиття загальної задачі на кілька приватних (диз'юнкція). При цьому потрібно стежити за тим, щоб всі випадки (завдання) були розібрані. Якщо якийсь з них не розглянуто, то метод втрачає свою суть і рішення вважається невірним. Неповний перебір часто зустрічається в роботах школярів. p> 2) рішення в загальному вигляді. Нелегко дається учнями, так як їм легше оперувати з конкретними об'єктами. Цей метод хороший тим, що виключає втрату частини рішення. Більшість властивостей доводиться саме в загальному вигляді. При його використанні відбувається абстрагування, приватні характеристики об'єктів не враховуються, міркування спираються на загальні властивості даного класу об'єктів. Краса методу в тому, що, працюючи з одним об'єктом, ми тим самим охоплюємо весь клас. Але це одночасне оперування всіма об'єктами відразу і відштовхує дітей з їх конкретним мисленням. У дійсності ж, представивши число в загальному вигляді, він працює з ним, як з конкретним числом, нічого принципово нового немає. Задачі на подільність - це благодатне середовище для навчання абстрагування: міркування в загальному вигляді тут не дуже складні і в той же час досить яскраво показують ефективність даного методу.
Щоб учень дійсно зрозумів перевага рішення в загальному вигляді, розберемо рішення конкретного завдання двома методами.
Задача : При розподілі на 5 число дає залишок 3. Який залишок дає число при діленні на 15? p> 1) Рішення перебором. При розподілі на 15 можуть вийти наступні залишки: 0, 1, ..., 14. Якщо залишок дорівнює
0: то при діленні на 5 буде залишок 0 В№ 3;
1: то при діленні на 5 буде залишок 1 В№ 3;
2: то при діленні на 5 буде залишок 2 В№ 3;
3: то при діленні на 5 буде залишок 3 = 3;
4: то при діленні на 5 буде залишок 4 В№ 3;
5: то при діленні на 5 буде залишок 0 В№ 3;
6: то при діленні на 5 буде залишок 1 В№ 3;
7: то при діленні на 5 буде залишок 2 В№ 3;
8: то при діленні на 5 буде залишок 3 = 3;
9: то при діленні на 5 буде залишок 4 В№ 3;
10: то при діленні на 5 буде залишок 0 В№ 3;
11: то при діленні на 5 буде залишок 1 В№ 3;
12: то при діленні на 5 буде залишок 2 В№ 3;
13: то при діленні на 5 буде залишок 3 = 3;
14: то при діленні на 5 буде залишок 4 В№ 3;
Виходить, що існує три варіанти залишку: 3, 8, 13.
2) Рішення в загальному вигляді. Так як при діленні числа a на 5 залишок дорівнює 3, то його можна записати у вигляді а = 5 k + 3 . Нехай залишок від ділення числа a на 15 дорівнює b , тоді a = 15 n + b, де 15 Ві b> 0.
Значить 15 n + b = 5 k + 3 Г› b - 3 = 5 k - 15 n = 5 ( k - 3 n).
Виходить, що 12 Ві b - 3> - 3 і b - 3 ділиться на 5.
Можливі три варіанти:
b - 3 = 0
b = 3
b - 3 = 5
b = 8
b - 3 = 10
b = 13.
Важко не погодитися, що рішення в загальному вигляді гарніше і коротше.
В§ 3.
Завдання 2. Доведіть, що число 111 ... 1 (сто одна одиниця) ділиться на 81.
Міркування учня: Так як сума цифр числа 111 ... 1 (сто одна одиниця) ділиться на 9, то саме число ділиться на 9. Сума цифр ділиться на 9 два рази, значить і число ділиться два рази на 9, значить воно ділиться на 81.
Аналіз помилки: По суті справи, учень сформулював ознака подільності на 81 за аналогією з ознакою подільності на 9. У цьому нічого поганого немає. Але учень не перевірив, чи вірний ця ознака. Це необгрунтована аналогія . Що стосується ознаки подільності на 81, то він є хибним (хоча для чисел, складених з одних одиниць, він все-таки виконується). Досить привести контрприклад: 81818181818181819 = 81 ...
