реході від конкретних чисел, що володіють певним властивістю, до класу, як об'єкту. Школяр не може уявити клас в алгебраїчному вигляді. Завдання перевіряючого - допомогти йому в цьому. Насправді в методичному посібнику наведено визначення подільності, з якого можна зрозуміти, як представити клас чисел, що діляться на конкретне число, в загальному вигляді. Конкретних прикладів подання немає. Тому можна дати такий коментар: В«У пункті д) Вами було розглянуто лише окремий випадок. Здійснимість затвердження для всіх решти пар чисел (а їх досить багато) залишається під питанням. Щоб перевірити її, необхідно міркувати в загальному вигляді. Скажімо, число a , яке ділиться на 6 можна записати, як 6 k , де k - деяке ціле число. В»
Завдання 2. Доведіть твердження:
г) якщо йВ , То .
д) якщо, то .
г) Міркування учнів: Так як, то або або. Далі розглядаються ці варіанти і окремо для кожного доводиться, що.
Аналіз помилки: Це типовий неповний перебір, розглянуті не всі варіанти, а конкретно - не розглянутий варіант, коли a і b не діляться на c. Учень не врахував випадок, коли c представляється у вигляді добутку двох множників, на один з яких ділиться a , на інший ділиться b . Причина помилки - ототожнення в свідомості учня дільника з простим числом і використання відповідних властивостей. Це узагальнення властивостей простого числа на всі числа легко спростовується контрприкладом: a = 3, b = 6, c = 9. Зрозуміло, що при цьому, але ні a і ні b на c не діляться.
д) Міркування учнів: Так як і, То.
Аналіз помилки: У методичному посібнику виділено кілька властивостей подільності цілих чисел. Одне з них формулюється таким чином: якщо a і b діляться на c , то a + b і a- b діляться на c . Учень скористався цим властивістю, але неправильно, він його змінив: якщо c ділиться на a і на b , то c ділиться на a + b і на < i> a- b (*) . Причина в наступному: подільність - антисиметричне бінарне відношення. У школі учні зустрічалися лише з рівністю (симетричним відношенням) і тільки починають докладно вивчати відношення порядку. Не дивно, що вони плутають числа, які діляться, і числа, на які діляться. Єдине правило на перших етапах вивчення подільності - уважно застосовувати властивості при вирішенні завдань. Для спростування даної властивості (*) достатньо навести контрприклад: 10 ділиться на 5 і на 2, але на 3 число 10 не ділиться. Для того, щоб учні краще розуміли суть подільності чисел і властивостей, рекомендується самостійно довести деякі з них, наведені в посібнику.
Задача 5-в. За яких n 3 n 2 +2 n +2 ділиться на 4 n +3 .
Міркування учня: Так як, то і чи Гћ Гћ.
Якщо n = - 1, то 4 n +3 = - 1, і.
Якщо n = 0, то 4 - n не ділиться на 4 n +3. p> Якщо n = 1, то 4 - n не ділиться на 4 n +3. p> Якщо n = 4, то.
Відповідь: n = - 1.
Аналіз помилки: У міркуваннях немає логіки, учень розглядає лише деякі n . Як йде справа з рештою числами - невідомо. Це неповний перебір. Школяр намагався міркувати за аналогією з прикладом, розібраному у методичному посібнику ([9], с. 5), але не довів рішення до кінця, не зробивши останній крок: Гћ Гћ. Зараз залишається розглянути чотири випадку 4 n +3 = 19; 1; -1; -19. Інших варіантів немає. p> Задача 3. Доведіть, що сума 2 n +1 послідовних натуральних чисел ділиться на 2 n +1 .
Міркування учня:
1 +2 +3 + ... + (2 n +1) = (1 +2 n +1) (2 n + 1)/2 = ( n +1) (2 n +1) ділиться на 2 n +1. p> Аналіз помилки: Розглянуто окремий випадок. На його основі проведено необгрунтоване узагальнення виконання властивості для всіх інших послідовностей. Хоча в даному випадку міркування і будуть аналогічні, але ж це треба ще показати. Тим більше, що можна навести приклад, коли для декількох приватних випадків властивість виконується, а, загалом, не вірно.
Наприклад: ( n +1) ( n +2) ( n +3) ( < i> n +4) ділиться на 120 при n = 1, 2, 3, 4, а от при n = 5 вираз ( n +1) ( n +2) ( n +3) ( n + 4) = 6 Г— 7 Г— 8 Г— 9 на 120 вже не ділиться.
Задача 4. Залишок від ділення непарного чис...
