упеня h2, буде потрібно ще два параметри, оскільки необхідно враховувати члени h2fx і h2ffy. Так як у нас є всього чотири параметри, три з яких будуть потрібні для створення узгодження з рядом Тейлора аж до членів порядку h2, то найкраще, на що тут можна розраховувати - це метод другого порядку. p> У розкладанні f (x, y) в ряд 1.5 в околиці точки xm, ym покладемо
= xm + b1h, = ym + b2hf.
Тоді
(xm + b1h, ym + b2hf) = f + b1hfx + b2hffy + O (h2),
де функція і похідні в правій частині рівності обчислені в точці xm, ym. p> Тоді 1.9 можна переписати у вигляді
+1 = ym + h [a1f + a2f + h (a2b1fx + a2b2ffy)] + O (h3).
Порівнявши цю формулу з розкладанням в ряд Тейлора, можна переписати у вигляді
m +1 = ym + h [a1f + a2f + h (a2b1fx + a2b2ffy)] + O (h3).
Якщо зажадати збіги членів hf, то a1 + a2 = 1.
Порівнюючи члени, що містять h2fx, отримуємо a2b1 = 1/2.
Порівнюючи члени, що містять h2ffy, отримуємо a2b2 = 1/2.
Так як ми прийшли до трьох рівнянням для визначення чотирьох невідомих, то одне з цих невідомих можна задати довільно, виключаючи, може бути, нуль, залежно від того, який параметр взяти в якості довільного. p> Покладемо, наприклад, a2 = w В№ 0. тоді a1 = 1-w, b1 = b2 = 1/2w і співвідношення 1.9, 1.10, 1.11 зведуться до
m +1 = ym + h [(1-w) f (xm, ym) + wf (xm + h/2w, ym + h/2wf (xm, ym))] + O (h3) 1.12
Це найбільш загальна форма запису методу Рунге-Кутта другого порядку. При w = 1/2 ми отримуємо виправлений метод Ейлера, при w = 1 отримуємо модифікаційний метод Ейлера. Для всіх w, відмінних від нуля, помилка обмеження дорівнює
t = kh3 1.13
Методи Рунге-Кутта третього і четвертого го порядків можна вивести абсолютно аналогічно тому, як це робилося при виведенні методів першого і другого порядків. Ми не будемо відтворювати викладки, а обмежимося тим, що наведемо формули, що описують метод четвертого порядку, один з найуживаніших методів інтегрування диференціальних рівнянь. Цей класичний метод Рунге-Кутта описується системою наступних п'яти співвідношень
m +1 = ym + h/6 (R1 +2 R2 +2 R3 + R4) 1.14
де R1 = f (xm, ym), 1.152 = f (xm + h/2, ym + hR1/2), 1.163 = f (xm + h/2, ym + hR2/2), 1.174 = f (xm + h/2, ym + hR3/2). 1.18
Помилка обмеження для цього методу дорівнює e t = kh 5 так, що формули 1 . 14-1 . 18 описують метод четвертого порядку . Зауважимо , що при використанні цього методу функцію необхідно обчислювати чотири рази
