е є міркування, яке показує, що істинність твердження випливає логічно з істинності попередніх теорем або аксіом.
Усередині дедуктивної системи не можуть бути вирішені два питання: 1) про сенс основних понять, 2) про істинність аксіом. Але це не означає, що ці питання взагалі неможливо розв'язати. p align="justify"> Історія природознавства свідчить, що можливість аксіоматичної побудови тієї чи іншої науки з'являється лише на досить високому рівні розвитку цієї науки, на базі великого фактичного матеріалу, дозволяє чітко виявити ті основні зв'язки і співвідношення, які існують між об'єктами, досліджуваними даною наукою.
Зразком аксіоматичної побудови математичної науки є елементарна геометрія. Система аксіом геометрії були викладені Евклідом (близько 300 р. до н. Е..) У неперевершеному за своєю значимістю працю Почала . Ця система в основних рисах збереглася і донині.
Основні поняття: точка, пряма, площина основні образи; лежати між, належати, рух.
Елементарна геометрія має 13 аксіом, які розбиті на п'ять груп. У п'ятій групі одна аксіома про паралельні (V постулат Евкліда): через точку на площині можна провести тільки одну пряму, не що перетинає дану пряму . Це єдина аксіома, що викликала потребу докази. Спроби довести п'ятий постулат займали математиків більше 2-х тисячоліть, аж до першої половини 19 століття, тобто до того моменту, коли Микола Іванович Лобачевський довів у своїх працях повну безнадійність цих спроб. В даний час недоказовність п'ятого постулату є строго доведеним математичним фактом.
Аксіому про паралельні Н.І. Лобачевський замінив аксіомою: Нехай в даній площині дана пряма і лежача поза прямою крапка. Через цю точку можна провести до цієї прямий, принаймні, дві паралельні прямі.
З нової системи аксіом Н.І. Лобачевський з бездоганною логічної строгістю вивів струнку систему теорем, що становлять зміст неевклідової геометрії. Обидві геометрії Евкліда і Лобачевського, як логічні системи рівноправні. p align="justify"> Три великих математика в 19 столітті майже одночасно, незалежно один від одного прийшли до одних результатами недовідності п'ятого постулату і до створення неевклідової геометрії.
Микола Іванович Лобачевський (1792-1856)
Карл Фрідріх Гаус (1777-1855)
Янош Бойя (1802-1860)
Математичне доказ
Основним методом в математичних дослідженнях є математичні докази - суворі логічні міркування. У силу об'єктивної необхідності, вказує член-кореспондент РАН Л.Д.Кудрявцев, логічні міркування (які за своєю природою, якщо вони правильні, є і строгими) ...
