енергії тіла.
Підставимо в (42) вираз (43), і, оскільки сили не варіюються, запишемо, що
(44)
Рівняння (44) є варіаційним рівнянням Лагранжа.
Якщо сили консервативні, то перші два інтеграла представляють собою зміну потенціалу зовнішніх сил при переході з недеформованому-ного стану в деформований.
Потенціал зовнішніх сил
(45)
де - можлива робота зовнішніх сил при переході з недеформованому-ного в деформований стан обчислена в припущенні, що зовнішні сили залишаються незмінними. Повна енергія системи
(46)
Тоді з урахуванням виразів (44) - (46) принцип Лагранжа запишеться:
(47)
тобто варіація повної енергії системи в положенні рівноваги на можливих переміщеннях дорівнює нулю. Вираз (47) є варіаційним рівнянням Лагранжа у випадку дії тільки консервативних сил. p align="justify"> У положенні стійкої рівноваги повна енергія П мінімальна,
коли
В
Принцип Лагранжа - принцип мінімальної енергії.
.2 Принцип можливих станів (принцип Кастільяно)
Будемо називати можливими станами такі, які знаходяться у відповідності із зовнішніми і внутрішніми силами, тобто задовольняють рівнянням рівноваги.
Питома додаткова робота у разі лінійно-пружного тіла записується за висловом,
(49)
Тоді, взявши варіацію додаткової енергії тіла і підставивши у вираз (48) рівняння (49), отримуємо
В
або, використовуючи рівняння (50), можна записати
(51)
Розглянемо можливі напружені стану при дії на тіло об'ємних сил. Так як розглядаються можливі напружені стану, то
Отже, звідки випливає, що
При дії поверхневих сил зв'язок напружень і зусиль можна записати
(52)
Розглянемо можливі напружені стану. У цьому випадку
В
Звідки також випливає, що
В
Повернемося до подінтеральному висловом рівняння (51). Висловимо деформації через переміщення (17) і запишемо або
(53)
Продифференцировав вираз (53), отримаємо
В
Підставимо у вираз (51) рівняння (53). Тоді (54) причому на поверхні, на якій задані сили
В
і, отже, другий інтеграл виразу (54)
(55)
подинтегральних вираз першого інтеграла вирази (54) може бути записано як
В
або у векторній формі
(56)
де - сили, що діють по тій частині поверхні, на якій задані переміщення (незадані пов...
