оператор), який визначаться як
(31)
Аналогічно можна отримати:
(32)
Рівняння (30) і (32) можна записати в наступному вигляді:
(33)
Рівняння (33) або (30) і (32) є рівняннями Ламі. Якщо об'ємні сили дорівнюють нулю або постійні, то
(34)
причому запис в даному випадку не має на увазі підсумовування за i. Тут
(35)
або, з урахуванням (31)
(36)
Підставивши (22) в (34) і провівши перетворення, отримаємо
В
а, отже
(37)
де - функція, що задовольняє даним рівності. Якщо
отже, f - функція гармонійна. Значить і об'ємна деформація також функція гармонійна. p align="justify"> Вважаючи вірним попереднє припущення, візьмемо гармонійний оператор від i-го рядка рівняння Ламі
(38)
де
(39)
Якщо об'ємні сили дорівнюють нулю або постійні, то компоненти переміщення є бігармонічним функції.
Відомі різні форми подання бігармонічних функцій через гармонійні (задовольняють рівнянням Ламі).
де k = 1,2,3. Причому
і
Можна показати, що таке подання переміщень через гармонійну функцію звертає в тотожність рівняння Ламі (33). Часто їх називають умовами Попковіч-Гродського. Чотири гармонійні функції не обов'язкові, адже ф0 можна прирівняти нулю. br/>
4. Варіаційні принципи Теорії пружності. br/>
.1 Принцип можливих переміщень (принцип Лагранжа)
Принцип Лагранжа. Для тіла, що знаходиться в рівновазі, робота зовнішніх і внутрішніх сил на будь-яких можливих нескінченно малих збільшеннях переміщень дорівнює нулю. p align="justify"> Використовуючи теорему Клапейрона, що для упругодеформірованному тіла варіюючи переміщенням, отримуємо принцип Лагранжа
(40)
Можливими в хутра ніку деформованих тіл називають такі переміщення, які задовольняють зовнішнім і внутрішнім зв'язкам, накладеним на тіло.
Зовнішні зв'язки - це умови закріплення, внутрішні зв'язки - умова суцільності.
Щоб задовольнити внутрішнім зв'язкам, треба, щоб прирости переміщень були безперервними однозначними функціями координат.
У такій формі принцип Лагранжа справедливий для будь-яких деформованих тіл.
Для пружних тіл було отримано, що
(41)
Тоді (40) з урахуванням (41) запишеться як
(42)
де W - питома деформація, а
(43)
Тут U - варіація всій потенційної...
