Парижі в маєтку Лопиталя.
Головна заслуга Лопиталя полягає в першому систематичному викладі математичного аналізу, дане ним у творі В«Аналіз нескінченно малихВ» (фр. Analyse des infiniment petits pour l'intelligence des lignes courbes, 1696). У цій книзі зібрані і приведені в струнке ціле окремі питання, розкидані до того в різних почасових виданнях, а також наводиться Правило Лопіталя. У передмові Лопиталь вказує, що без будь-якого сорому користувався відкриттями Лейбніца і братів Бернуллі і В«не має нічого проти того, щоб вони пред'явили свої авторські права на все, що їм завгодноВ». Сучасників, однак, сильно спантеличило те, що Йоганн Бернуллі пред'явив претензії на всі твір Лопіталя цілком. p> Інше відоме твір Лопіталя, В«TraitГ© analytique des sections coniquesВ», надруковано в 1707 р. Лопиталю належить також вирішення ряду завдань, в тому числі про кривої найменшого часу ската (див. брахістохрони), про криву, по якій повинен рухатися вантаж , прикріплений до ланцюга і утримує в рівновазі підйомний міст. Вирішення цих завдань допомогло йому стати в один ряд з Ньютоном, Лейбніцем і Якобом Бернуллі. [1, с. 240]
На підставі теореми Коші про середньому можна отримати зручний метод обчислення деяких меж, званий правилом Лопіталя.
Теорема. Нехай функції і безупинні і діфференцируєми у всіх точках напівінтервалу і при спільно прагнуть до нуля або нескінченності. Тоді, якщо відношення їх похідних має межу при, то цей же межа має відношення і самих функцій, тобто
.
Проведемо доказ даної теореми тільки для випадку, коли. Так як межі у обох функцій однакові, то Довизначивши їх на відрізку, поклавши, що при виконується рівність. Візьмемо точку. Так як функції і задовольняють теоремі Коші (п. 2.14), застосуємо її на відрізку:
,
де. Так як, то
.
Перейдемо в даному рівність до межі:
.
Але якщо, то і, що знаходиться між точками і, буде прагне до, значить
.
Звідси, якщо, то і, тобто
,
що й потрібно було довести. p> Якщо при, то знову виходить невизначеність виду та правило Лопіталя можна застосовувати знову, тобто
В
Доказ правила Лопіталя для випадку проводиться складніше, і ми його розглядати не будемо.
При розкритті невизначеностей типу,,,, правило Лопіталя застосовувати безпосередньо не можна. Спочатку всі ці невизначеності необхідно перетворити до виду або. p> Правило Лопіталя може бути використано при порівнянні зростання функцій, у разі коли. Найбільший практичний інтерес тут представляють функції,,. Для цього знайдемо межі їх відносин:
), значить, зростає швидше, ніж;
), значить, зростає швидше, ніж;
), значить, зростає швидше, ніж.
Звідси випливає, що швидше за все зростає, потім і, нарешті,.
Висновок
