ках аналізу до геометрії", т. 1-2, 1826-1828), засновані на систематичному використанні поняття межі, послужили зразком для більшості курсів пізнішого часу. p> У них він дав визначення поняття неперервності функції, чітку побудову теорії збіжних рядів (теорема Коші - Адамара), визначення інтеграла як межі сум та ін Коші систематично розвивав основи теорії аналітичних функцій комплексної змінної (рівняння Коші-Рімана), дав вираз аналітичної функції у вигляді інтеграла (інтеграл Коші), розкладання функції в статечної ряд (теорема Коші), розробив теорію вирахувань. p> В області теорії диференціальних рівнянь Коші належать: постановка т. зв. задачі Коші, основні теореми існування рішень і метод інтегрування рівнянь з приватними похідними 1-го порядку (метод Коші - метод характеристичних смуг). У роботах з теорії пружності він розглядав тіло як суцільне середовище і оперував напругою і деформацією, относимой до кожної точки. p> У роботах з оптики Коші дав математичну розробку теорії Френеля і теорії дисперсії. [7, с. 109] Коші належать також дослідження з геометрії (про многогранниках), з теорії чисел, алгебри і т. д. За політичними переконаннями Коші - ультрарояліст, прихильник Бурбонів (після революції 1830 року - в еміграції до 1838 року), клерикал.
Розглянемо, нарешті, четверту теорему про середню, що належить Коші, яка є узагальненням теореми Лагранжа.
Теорема. Якщо функції і безупинні на відрізку і діфференцируєми у всіх його внутрішніх крапках, причому не звертається в нуль ні в одній з зазначених точок, то існує, принаймні, одна точка, в якій
.
Доказ. Так як у всіх точках, то звідси випливає, що. В іншому випадку, як випливає з теорем и Ролля, існувала хоча б одна точка, в якій.
Складемо допоміжну функцію
.
Дана функція неперервна на відрізку і дифференцируема у всіх його внутрішніх точках. Крім того, обчислення її в точках і дає:. Значить, функція задовольняє вимогам теореми Ролля, тобто існує хоча б одна точка, в якій. p> Обчислимо похідну:
.
З умови випливає, що
і,
що й потрібно було довести.
У разі, коли, теорема Коші переходить у формулювання теореми Лагранжа.
5. Правило Лопіталя
Гійом Франсуа Лопиталь (фр. Guillaume FranГ§ois Antoine, marquis de L'HГґpital, 1661-1704) - французький математик, автор першого підручника з математичного аналізу.
Син багатих батьків, маркіз Лопиталь вступив спершу у військову службу, але за слабкості зору незабаром залишив її і присвятив себе наукам. Був членом Паризької академії наук, учасник вченого гуртка Мальбранша. Був одружений на Марі-Шарлотт де Ромій де ла Шенеле (фр. Marie-Charlotte de Romilley de la Chesnelaye), теж займалася математикою. p> У 1690-х роках посів чільне місце в школі Лейбніца, з новим методом якого його познайомив Йоганн Бернуллі в 1692 під час свого перебування в...
