p>
(107)
(108)
(109)
Координати x і v об'єднують одним вектором стану
(110)
Нагадаємо, що елементи відповідають наступним фізичним величинам:
(111)
Тоді для нелінійної багатовимірної замкнутої системи управління динамічна модель В«вхід? стан? вихідВ» запишеться наступним чином
(112)
(113)
де системна матриця А має розмір 5 Г— 5. У даному випадку матриці зв'язку B, G, G1 із входом g, програмної траєкторії g1 і обуренням w відповідно мають розмір 5 Г— 1. Матриця зв'язку з виходом
, (114)
Так як спостерігається тільки одна вихідна координата z1.
У підсумку модель В«вхід-стан-вихідВ» об'єкта і ПІД-регулятора виглядає наступним чином:
(115)
(116)
1.7 Методи чисельного інтегрування звичайних диференціальних рівнянь
Вираз (18) є основною формою подання звичайних диференціальних рівнянь. За аналогією запишемо модель системи (112), але відносно n-мірної векторної змінної y (t) з елементами yi (t) при i = 1, n, враховуючи, що вихідним сигналом системи є кутова швидкість обертання валів двигунів? (T) і y (t) =? (t) = y1 (t). Змінні g, g1 і w являють собою задані функції часу (момент обурення mв = 0), тому замкнута система управління описується векторним диференціальним рівнянням:
(117)
З початковими умовами:
(118)
Тут відомими є початковими умови у0, а невідомою векторна функція з елементами y1 (t), y2 (t), ... yn (t). У правій частині рівняння (117) використовується більш компактна запис для неавтономних систем, так як g = g (t), g1 = g1 (t), w = w (t). p> Проблема чисельного рішення диференціальних рівнянь пов'язана з переходом від безперервних систем до дискретним, тобто заміною моделі (117) різницевим рівнянням. Наприклад, в деякій точці t = tk можна похідну замінити на найпростішу формулу чисельного диференціювання
(119)
Тут прийняті наступні позначення yk = y (tk), yk +1 = y (tk +1), а під різницею
(120)
розуміють крок інтегрування
Підставами різницю (119) у рівняння (117) при t = tk і отримаємо:
(121)
З останнього виразу випливає, що для моменту часу t = tk +1
чисельне значення yk +1 може бути визначено за формулою:
(122)
яке називають явним методом Ейлера.
Для k = 0 при відомому у0, обчислюють y1, потім при k = 1по отриманому y1 визначають y2 і т.д., тобто алгоритм є рекурентним. p> Природно, що з'являється помилка, пов'язана з точністю чисельного диференціювання (119), тому використовують або більш точні формули заміни похідних, або розкладання нелінійної функції f (y) в ряд Тейлора. ...
