никова, для якої реалізується одне з двох стійких станів h1 (або h2) при зростанні одного з параметрів, наприклад, часу післядії, описувана змінна починає осцілліровать в малій околиці однієї з фаз ( рис. 2, а). Для таких рухів показник Ляпунова приймає негативне значення.
На рис. 2, б має місце перехід до хаотичного стану, що підтверджується позитивним значенням показника Ляпунова. Детермінований хаос має місце поблизу аттрактора h2 (<0), який був заданий початковим значенням h0 (<0). На цьому малюнку фіксуються невеликі «хаотичні флуктуації» параметра порядку, що лежать в межах, сумісних із збереженням даної фази (гомофазние флуктуації). У цьому випадку час життя детермінованою траєкторії (tr) є обмеженим.
На рис. 2, в фіксується хаотична динаміка параметра порядку, пов'язана з гетерофазной флуктуаціями. Тут h1, h2 - параметри порядку, відповідні рівноважним тимчасовим фазах. У цьому відношенні змінну hk можна трактувати для даного відображення як деякий параметр порядку, сенс якого встановлюється при вирішенні конкретних завдань в системах зі структурними перетвореннями, в тому числі в економічних системах.
Показник Ляпунова для відображення залежить від параметра a, і він може бути обчислений за формулою
, hk +1=j (hk)
Для інших відображень виникають многопараметрические залежності l від інших керуючих параметрів.
Якщо аналіз ведеться на макроекономічному рівні, то для такої системи можна вказати область параметрів, в якій рішення поводиться хаотично, - це область детермінованого хаосу l> 0. При l> 0 відповідний макроекономічний режим є локально нестійким і хаотичним; при l=0 - нейтрально стійким; при l < 0 - стійким і періодичним.
Рис. 2. Хаос і еволюція «відстані» між двома итерациями відображення при заданих відрізняються початкових умовах.
Відстань між двома сусідніми траєкторіями і (k - порядковий номер ітерації) визначалося величиною hdk=a) d0=10-3, l=- 0,22; б) d0=10-3, l=0,70; в) d0=10-8, l=0,76.
Ентропія Колмогорова. Ентропія Колмогорова - найважливіша характеристика хаотичного руху у фазовому просторі довільної розмірності.
Термодинамічна ентропія S є міра безладу в даній системі. Простий приклад системи, в якій S зростає, - молекули газу, які спочатку поміщені в одну половину куба і яким потім раптово відкривається можливість заповнити весь судину. Безлад в системі наростає, так як молекули більше не відокремлені від іншої половини куба. Цей безлад пов'язаний із зростанням нашого незнання про стан системи (до того як була прибрана перегородка, про розташування молекул ми знали більше).
Більш строго, ентропія S, певна як:
,
де {Pi} - ймовірності для системи опинитися в станах {i}, є міра інформації, необхідна для визначення місця розташування системи в деякому стані i, тобто S є міра незнання про систему.
Отже, ентропія Колмогорова (метрична ентропія) пропорційна швидкості втрати інформації про стан системи з плином часу і є мірою експоненційної швидкості розбігання траєкторій динамічної системи. Визначення метричної ентропії - необхідний елемент комплексного аналізу на детермінований хаос, вона може бути використана в аналізі фазових переходів в різних системах.
Час, за який система забуває початкові умови. При визначенні інформаційної ентропії у вигляді S (t)=K0t (t? ®) з як завгод...
