1 - Функція Ляпунова
Справді, скалярний твір градієнта функції Ляпунова і вектора швидкості в будь-якій точці своїм знаком показує тупий або гострий кут? . Якщо кут? тупий, то вектор швидкості спрямований усередину лінії рівня, і траєкторія руху прагне увійти всередину лінії рівня і далі рухатися до початку координат. Якщо, навпаки,? гострий, то траєкторія прагне від початку координат. Очевидно, що в першому випадку система стійка, а в другому випадку - ні.
Дане скалярний твір є також повна похідна функції Ляпунова за часом.
Тепер дамо формулювання теореми Ляпунова. Теорема Ляпунова (ескіз формулювання).
Нехай знайдеться функція така, що її похідна вздовж траєкторії системи негативна, тобто вираз негативно. Тоді система стійка.
На жаль, не існує загального методу побудови функції Ляпунова для довільної нелінійної системи.
Однак до теперішнього часу функції Ляпунова побудовані практично для всіх найбільш важливих класів нелінійних систем, що зустрічаються на практиці.
Більше того, якщо побудована функція Ляпунова, то через неї вдається висловити такі показники якості перехідного процесу як перерегулирование час перехідного процесу і т.д.
Один з найважливіших класів нелінійних систем, для яких можна побудувати функцію Ляпунова, це випадок наявності єдиною нелінійності F (x) у системі, як у методі гармонійної лінеаризації. Тоді функцію Ляпунова можна вибрати у вигляді:
У разі лінійної системи функцію Ляпунова можна завжди вибрати у вигляді квадратичної форми.
2.2 Показники Ляпунова
Показники Ляпунова відіграють важливу роль в теорії гамільтонових і дисипативних д?? Наміческіх систем. Вони дають вичіслімих кількісну міру ступеня стохастичності. Крім цього, існує тісний зв'язок між показниками Ляпунова та іншими характеристиками випадковості, такими, як ентропія Колмогорова або фрактальна розмірність [5].
При обчисленні показників Ляпунова в найбільш простих задачах нелінійної динаміки зазвичай розглядають систему трьох нелінійних диференціальних рівнянь або одного логістичного відображення
тут а - параметр рівняння.
Таке відображення в кінцево-різницевої формі дає в широкому інтервалі значень параметра не тільки періодичні, а й хаотичні рішення, що відрізняються за деякими своїми властивостями від відповідних безперервних рішень. Звичайно-різницевий вид цього рівняння відповідає тимчасовому надання статистичних даних: вони вказуються для певного часового інтервалу - кварталу, року.
Якщо в системі - міра початкової відстані між двома вихідними точками для параметра порядку (змінної) h, то через малий час t=k відстань між траєкторіями і (k - порядковий номер ітерації), що виходять з цих точок, стає рівним [6 ]
де l - показник Ляпунова (рис. 1). Відстань між двома розрахунковими сусідніми траєкторіями визначається величиною
Аналогічні припущення можна висловити, якщо звертатися до інших отображениям, в тому числі застосовуваним в аналізі фазових переходів. На рис. 2, а представлені регулярні коливання hdk (показник Ляпунова l <0), на рис. 1, б - виникнення хаотичних пульсацій (l> 0).
На відміну від класичної динамічної теорії фазових переходів Ландау-Халат...
