ностування жорсткостей вертикальних опор ротора по заданих частотах коливань системи.
Зворотній завдання. Відомі власні частоти коливань механічної системи ротора. Невідомі жорсткості вертикальних опор ротора.
Перетворимо частотне рівняння (18) до вигляду:
(26)
де функції представлені таким чином:
(27)
Якщо відомі дві власні частоти і, то рівняння (18) являють собою систему алгебраїчних рівнянь з двома невідомими,:
(28)
Віднімаючи з першого рівняння системи (28) друге рівняння, отримаємо:
Звідки висловимо коефіцієнт жорсткості ротора:
(29)
Підставляючи значення коефіцієнта жорсткості в перше рівняння системи рівнянь (28), отримаємо:
Перетворимо останню рівність і отримаємо квадратне рівняння щодо коефіцієнта жорсткості:
(30)
З рівняння (30) отримаємо вираз для коефіцієнта жорсткості:
(31)
де
(32)
Таким чином, по відомим двом частотам коливань ротора за допомогою формул (29) - (32) можна визначити жорсткості вертикальних опор.
Приклад 3 Відомі такі фізичні параметри механічної системи і частоти коливань:
,,,,,,,,,,,,.
Знайти відповідні жорсткості вертикальних опор.
Рішення.
Система рівнянь (27) після підстановки в нього заданих числових значень приймає вигляд:
Рішення системи, знайдене за допомогою ЕОМ, має вигляд:
Значить, з великою точністю можна сказати, що коефіцієнти вертикальних опор наступні:
Ці ж значення визначаються за аналітичними формулами (29) - (32).
Дійсно, якщо, підставити в рівняння (30), отримаємо квадратне рівняння:
Тоді за формулою (32) маємо:
Підставляючи знайдений дискриминант в формулу (31) знайдемо значення коефіцієнта жорсткості:
По (29) знайдемо значення коефіцієнта:
Таким чином, за формулами (22) - (25) визначені такі ж коефіцієнти жорсткостей вертикальних опор:
,.
Значення, визначені вірно, так як за рішенням прямого завдання саме цим жорсткості горизонтальних опор ротора відповідають дані значення власних частот.
.4 Програмна реалізація зворотного завдання
Рішення завдання виконано в середовищі Maple 12. Програма дозволяє за заданими характеристиками автомобіля визначати власні частоти ротора.
Були використані наступні команди математичного пакета Maple 12:, яка призначена для спрощення різноманітних виразів, які раціональні дроби (алгебраїчні вирази);, призводить подібні члени в узагальнених поліномах декількох змінних, в яких як невідомих можуть виступати функції з аргументами, які є невідомими величинами;, рішення нелінійних рівнянь в системі Maple, видає рішення в аналітичному вигляді;, дана команда очищає від старого сенсу і значень всі змінні.
Лістинг програми
> p:=«p»; d1:=«d1»; d2:=«d2»;
> p:=p4; eg12:=evalf (eg);
> solve ({eg11, eg12}, {d1, d2});
> restart; with (LinearAlgebra):
віднімаємо з першого рівняння...
