жен елемент представлений унітарною оператором і це відповідність є гомоморфізмом груп (тобто виконано (1.52)).
Вейвлет-перетворення зі сферично симетричним вейвлетом. Для узагальнення безперервного вейвлет-перетворення на багатовимірний випадок, тобто на простір,, природно замість групи взяти групу всіх афінних перетворень. Група складається з матриць виду
,
де - невироджена матриця порядку і. Однак розмірність цієї групи досить велика, вона дорівнює, тому повна афінна група незручна внаслідок великої розмірності. Розглянемо підгрупи меншої розмірності, які в багатьох випадках достатні для безперервного вейвлет-аналізу. Найбільш проста група, яка містить розтягування і зрушення - це група, що складається з матриць виду
, де. (1.53)
У цьому випадку левоінваріантний елемент об'єму і унітарна уявлення задаються формулами:
,
.
Безперервне вейвлет-перетворення визначаємо за аналогією з одновимірним випадком. Для функції вводиться сімейство функцій, що залежать від параметрів групи:
. (1.54)
Формула безперервного вейвлет-перетворення має вигляд:
. (1.55)
де. У результаті вийшла функція на групі,.
Має місце формула зворотного безперервного вейвлет-перетворення:
, (1.56)
за умови сферичної симетричності функції, тобто , І кінцівки наступного інтеграла:
. (1.57)
Вейвлет-перетворення з різними стисками по осях. Більш складна група, яка містить різні розтягування по кожній координаті і зрушення на вектор. Вона складається з матриць виду
, де. (1.58)
Очевидно, що ця група є прямим твором примірників аффинной групи,. У цьому випадку левоінваріантний елемент об'єму і унітарна уявлення задається формулами:
,
.
Дія цієї групи - це дія групи окремо по кожній координаті. Тому безперервне вейвлет-перетворення визначаємо за аналогією з одновимірним випадком. Для функції вводимо сімейство функцій, що залежать від параметрів групи:
. (1.59)
Формула безперервного вейвлет-перетворення:
, (1.60)
де.
Має місце формула зворотного безперервного вейвлет-перетворення:
, (1.61)
за умови кінцівки наступного інтеграла:
, (1.62)
де.
Вейвлет-перетворення з групою подоб. Група подоб в просторі складається з переносів, розтягнень і обертань. Елемент групи можна представити у вигляді добутку:
, (1.63)
де, - одинична матриця порядку, - ортогональна матриця порядку. Розмірність групи досить велика, вона дорівнює. Тому для простоти розглянемо випадок. Вийде чотирьох-параметрична група, що складається з матриць
. (1.64)
Позначимо матрицю повороту на кут. Оскільки, то в комбінації немає необхідності розглядати від'ємне значення параметра. Тому надалі будемо вважати позитивним,. Левоінваріантний елемент об'єму унітарне уявлення задаються формулами:
,
.
Для функції вводимо сімейство функцій, що залежать від параметрів групи:
, (1.65)
де і - матриця повороту на кут. Знайдемо перетворення Фур'є даного сімейства функцій, враховуючи, щ...
