о:
. (1.66)
Безперервне вейвлет-перетворення визначаємо за формулою:
, (1.67)
де.
Має місце формула зворотного безперервного вейвлет-перетворення:
, (1.68)
за умови кінцівки наступного інтеграла:
. (1.69)
.5.3 Приклади двовимірних вейвлетов
Наведемо кілька відомих прикладів з [8], там же описується додатки двовимірних вейвлетов до аналізу зображень.
Двовимірна «мексиканський капелюх». Це лапласіан функції Гаусса:
Можна розглянути також Лапласіан більш високого порядку:
.
При збільшенні ці вейвлети мають все більше нульових моментів і стають все більш чутливими до сингулярним деталям сигналу. Сферично симетричний вейвлет «мексиканський капелюх» ефективніше для аналізу точкових особливостей і неефективний для виділення спрямованих елементів сигналу.
Градієнтні вейвлети виходять як приватні похідні функції Гаусса:
.
Різницеві вейвлети виходить як різниця двох позитивних функцій, зокрема як різниця деякої функції і її стислій версії. Якщо функція є гладка неотрицательная функція і всі її моменти першого порядку дорівнюють нулю, то функція, що задається співвідношенням
є вейвлетом, що задовольняє умові допустимості (1.69). Типовим прикладом служить так званий DOG-вейвлет (Difference of Gaussians), коли як береться функція Гаусса:
.
Двовимірний вейвлет Морле. Вейвлет, який не володіє сферичної симметричностью, можна назвати спрямованим. Спрямованість вейвлета зручно задавати матрицею в скалярному творі, коли замість береться. Вейвлет Морле є найпростішим спрямованим вейвлетом і може розглядатися як прототип всіх інших спрямованих вейвлетов:
де параметр є хвильовим вектором, - матриця, що визначає анізотропію вейвлета. Наприклад, в якості такої матриці можна взяти. Хоча вейвлет Морле не задовольняє умові оборотності вейвлет-перетворення, але при великих значеннях значення близьке до нуля, що дозволяє його практичне використання. Модуль вейвлета Морле є функцією Гаусса, витягнутої в напрямку осі (якщо), і його фаза постійна в напрямку, ортогональному. Такії чином, вейвлет Морле виявляє різкі зміни сигналу в напрямку, перпендикулярному.
1.6 Побудова систем полуортогональних сплайнових вейвлет
У цьому пункті будуємо повну систему сплайнових полуортогональних вейвлет на кінцевому відрізку.
Нехай - довільний відрізок, - натуральне число і - таке ціле число, що. Розглянемо сімейство розбиття відрізка з постійним кроком. На кожному з разбиений розглянемо простір сплайнів. Тоді для кожного простір можна представити у вигляді прямої суми, де через позначено ортогональное додаток простору до простору. Шуканий вейвлет-базис будемо будувати як об'єднання базису в і всіх базисів у просторах.
Спочатку побудуємо базис в ортогональному доповненні простору до простору. Зафіксуємо. У разі потреби будемо вважати, що кожне з разбиений продовжено з тим же кроком на всю числову вісь вузлами. Нормалізовані-сплайни на розбитті будемо позначати. ??
Зафіксуємо деяке ціле таке, що, тобто відрізок цілком міститься в. Будемо шукати функцію у вигляді
(1.70)
Для того щоб, досить вима...
