/p>
Разом:
- канонічне рівняння гіперболи.
Завдання № 15. Використовуючи теорію квадратичних форм, привести до канонічного виду рівняння лінії другого порядку. Схематично зобразити графік. br/>
Рішення
Складемо характеристичне рівняння квадратичної форми. Коефіцієнти. <В В
Знайдемо координати власних векторів:
, полога що, тоді;
, полога що, тоді.
Власні вектори:
.
Знаходимо координати одиничних векторів нового базису
.
Маємо наступне рівняння лінії в новій системі координат:
.
Канонічне рівняння лінії в новій системі координат буде мати вигляд:
.
В
Завдання № 16. Чи є квадратична форма позитивно певної? br/>
Рішення
.
.
Квадратична форма є позитивно визначеною, так як всі її головні мінори позитивні. br/>
Завдання № 17. Чи є квадратична форма позитивно певної? br/>
Рішення
.
. Квадратична форма не є позитивно певної, так як її головний мінор від'ємний. br/>
Завдання № 18. Чи є квадратична форма позитивно певної? br/>
Рішення
.
. Квадратична форма є не позитивно певної, так як не всі її головні мінори позитивні. br/>
Завдання № 19. Дана квадратична форма. Привести її до канонічного виду. br/>
Рішення
Складемо характеристичне рівняння
В
або. Коріння цього рівняння. Власні вектори, що визначають головні напрями квадратичної форми знайдемо з системи:
(1)
Підставляючи сюди по черзі значення та беручи щоразу нормоване рішення системи (1), отримуємо:
В
Формули перетворення координат при переході до цього базису:
В
У базисі квадратична форма має канонічний вигляд
В
Завдання № 20. Привести до канонічного вигляду квадратичну форму
В
Рішення
Складемо рівняння
В
або. Звідси. Канонічний вигляд даної квадратичної форми
Для того щоб знайти базис, в якому форма має вигляд, необхідна знайти власні вектори симметрического лінійного перетворення з матрицею
В
Запишемо систему рівнянь, визначальну шукані власні вектори:
(1)
Підставляючи сюди і беручи щоразу нормоване рішення системи (1), знайдемо вектори, що визначають головні напрями квадратичної форми:
В
Вони становлять потрібний базис.
При переході до базису координати всіх векторів перетворюються за формулами:
В
Завдання № 21. Знайти для квадратичної форми
В
її матрицю.
Рішення
Для даної квадратичної форми запишемо
В
Отже її матриця дорівнює
.
Завдання № 22. За допомогою лінійних перетворень змінних...
