их безпосередньо на аналізі загальних чи приватних рішень цих систем, а також використовують певні характеристики зазначених рішень. Другий метод Ляпунова заснований на дослідженні системи за допомогою функції Ляпунова. p> Отже, досліджуємо лінійну систему виду
y?? + 0,7 y? + Y + 1,6 = 0, (8.1)
яка являє собою лінеаризованих форму заданої вихідної системи, отриману в п.4 даної роботи.
Систему (8.1) можна представити у вигляді
= u
= - z? 0,7 u, (8.2)
де z = y (t), u = z? = Y? (T), u? = Y?? (T) (вільний член обнуляється). p align="justify"> У загальному вигляді дана система може описуватися як
= a11z + a12u
= a21z + a22,
де a11, a12, a21, a22 - елементи матриці А:
А =
Записуємо характеристичне рівняння для матриці:
det (A - лE) = det = det = 0,
де Е - одинична матриця. Розкриваючи цей визначник, отримуємо рівняння другого порядку
()? ()? 1? (? 1) = 0
л2 + 0,7 л +1 = 0 (8.3)
У п.5 даної роботи коріння даного характеристичного рівняння вже розраховані нами:
Л1, 2 =? 0,35 В± i? 0,937,
де дійсна частина кореня дорівнює (? 0,35), уявна дорівнює 0,937.
А. М. Ляпуновим були доведені наступні теореми, що визначають умови стійкості лінійних систем. p> Теорема 4. Якщо всі дійсні частини коренів характеристичного рівняння (8.3) для диференціальних рівнянь (8.2) негативні, то невозмущенное рух системи асимптотично стійко. p> Теорема 5. Якщо серед коренів характеристичного рівняння (8.3) для диференціальних рівнянь (8.2) є хоча б один з позитивною дійсною частиною, то невозмущенное рух системи не стійко. p> Теорема 6. Якщо рівняння (8.3) не має коренів з позитивною дійсною частиною, але є частина коренів з нульовою дійсною частиною, то становище рівноваги системи буде стійким (Не асимптотично). p> Таким чином, згідно проведеним розрахункам та утвердження Теореми 1, невозмущенное рух лінеаризованих рівняння, або рівняння першого наближення, асимптотично стійко.
Представлені вище теореми А. М. Ляпунова мають важливе значення в теорії автоматичного управління, так як вони дозволяють судити про стійкість нелінійних систем за рівняннями першого наближення у відповідності з наступними умовами:
. Якщо лінійна система першого наближення стійка, то відповідний стан рівноваги нелінійної системи також стійко. p>. Якщо лінійна система першого наближення нестійка, то відповідний стан рівноваги нелінійної системи також нестійка. p>. Якщо лінійна система першого наближення знаходиться на межі стійкості, то судити про стійкість вихідної нелінійної системи за рівняннями першого наближення можна. У цьому випадку необхідно розглядати вихідну нелінійну систему. p> Таким чином, стан рівноваги вихідної нелінійної системи (1.1) асимптотично стійко.
Це ж наслідок випливає з щ...
