і т.д. До аналогічних результатів призводило і використання В«живих заходівВ» довжини - ліктів, сажнів та інших, коли метром служили частини реального людського тіла. p> Кеплером вперше було записано рекуррентное вираз для ряду Фібоначчі - послідовності цілих чисел, походження якої пов'язують з ім'ям купця за професією, Леонардо з Пізи на прізвисько Фібоначчі ("син доброї природиВ»). Кажуть, що Леонардо Пизанский прийшов до цього ряду, вирішуючи завдання про розведення кроликів. На початку тринадцятого століття знання математики було рідкістю, і Фібоначчі опублікував свої відкриття в трактаті Liber de abacci (В«Книга про абаціВ», 1202). p> Його завдання формулювалася так: скільки пар кроликів ми отримаємо через певне число місяців, якщо на початку маємо 1 пару новонароджених кроликів, розмножуватися кролики починають з віку двох місяців, і приносять у середньому 1 пару приплоду на місяць. Рішення таке: у перший місяць 1 пара, у другій - все ще одна пара, в третій 1 +1 = 2 пари, у четвертий (1 +1) +1 = 3 пари, у п'ятий - (1 +1) + (1 +1) +1 = 5 пар і т.д. У результаті виходить ряд, де кожне наступне число є сума двох попередніх:
, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34 ..., (2)
це і є знаменитий натуральний Золотий послідовність Фібоначчі.
Якщо два попередні члена послідовності позначені і, то наступний її член
= + (3).
Важко сказати, чи правда, що кролики розмножуються подібним чином: ми думаємо, завдання про розведення кроликів Леонардо Пизанский винайшов навмисне з тією метою, щоб продемонструвати нам цей чудовий ряд чисел. Довелося чекати до кінця шістнадцятого століття, поки Йоганн Кеплер не привів суворе доказ, що ставлення сусідніх членів цієї прогресії при її зростанні сходиться до значення золотого перетину?. Сходиться ряд досить швидко:
якщо 1:1 = 1, 2:1 = 2, 3:2 = 1.5, то вже 13:8 = 1.625,
а вісімнадцятий член має вже шість десяткових знаків, збігаються зі значенням.
Доказ може бути побудоване на головному властивості золотого перетину, яке називається адитивним: множення? на? еквівалентно збільшенню одиниці, зведення в куб - додатку одиниці вже до двох?, і т.д. Це випливає з основного вираження 1 + 1 /? =?: p> =? + 1,
=? (? + 1) = +? = 2? + 1,
=? (2? + 1) = 2 +? = 3? + 2,
=? (3? + 2) = 3 + 2? = 5? + 3 і т.д.,
тобто =? +, Де - число ряду Фібоначчі. br/>
розмножуються, кролики знову спливли в ХХ столітті, через сім століть після доброго Леонардо. Американському математику Натану Альтшулер в 1917 р. вдалося отримати вираз для?, Де воно виникає як межа нескінченного квадратного кореня:
В
Якщо ми зобразимо на картатій папері зобразити одиничний квадрат як відповідний першому члену = 1 ряду чисел Фібоначчі, на його нижній стороні іншої такої ж квадрат = 1, на їх загальної лівій стороні 1 +1 квадрат 2х2, що відповідає третьому члену ряду, потім на стороні прямокутн...
