"> 3 протилежний знаку ? 1 так що рівняння (II) можна переписати у вигляді (ми відкидаємо штрихи при координатах)
(II *)
де-а ' 3 /? 1 є позитивне число, яке ми позначимо через р.:
В
Число-а ' 3 /? 2 позитивно, якщо знак ? 2 збігається зі знаком ? 1 (тобто в еліптичному випадку, ? <0), і негативно, якщо ? 1 і ? 2 різних знаків (тобто в гіперболічному випадку, ?> 0). Тому, вважаючи в обох випадках
В
маємо: q = - а ' 3 /? 1 в еліптичному випадку, q = а ' 3 /? 1 в гіперболічному випадку.
Відповідно отримуємо: в еліптичному випадку рівняння
В
еліптичного, а в гіперболічному випадку рівняння
В
гіперболічного параболоїда. Параметри р і q параболоїда виражаються через ортогональні інваріанти ?,? 1 , ? 2 і тому не залежать від тієї прямокутної системи координат, в якій було задано початкове рівняння (1) параболоїда. Вони не змінюються при множенні многочлена F (x, y, z) на числовій множник k (тому що при цьому ? множиться на k 4 , а ? 1 і ? 2 - на k), тому вони залежать лише від самої поверхні (аналізованої як безліч її точок) і в свою чергу визначають її однозначно (з точністю до її положення ...
