задачі всегда можна звесті до побудова емпірічної формули для додатних значень.
.2 Побудова лінійної емпірічної формули
Нехай между Даними існує лінійна залежність. Шукатімемо емпірічну формулу у вігляді
, (4)
де КОЕФІЦІЄНТИ и Невідомі.
Знайдемо значення І, за якіх функція матіме мінімальне значення. Щоб найти ці значення, а прірівняємо до нуля частинні похідні Функції
В
Звідсі, врахувавші, что, маємо
(5)
Розвязавші відносно и Останню систему, Знайдемо
, (6)
. (7)
Зазначімо, что, крім графічного, є ще й аналітичний крітерій Виявлення лінійної залежності между значення І.
Покладемо
,,.
Если, то залежність между и лінійна, бо точки лежатімуть на одній прямій. Если, то между и існує почти лінійна залежність, оскількі точки лежатімуть близьким до деякої прямої. Загальні положення
В
Для Спрощення викладу розглянемо спочатку випадок лінійної Функції одного аргументу. Нехай з досвіду Отримані точки:
В
(дів. рис.). Потрібно найти рівняння прямої
= ax + b, (2)
Найкращим чином узгоджується з досвідченімі точками.
Нехай ми нашли таку пряму. Позначімо через відстань дослідної точки від цієї прямої (вімірюється паралельно осі y). p> З рівняння (2) віпліває, что
(3)
Чім менше числа за абсолютною величиною, тім краще підібрана пряма (2). У якості характеристики точності підбору прямий (2) можна Прийняти суму квадратів
(4)
Покажемо, як можна підібраті пряму (2) так, щоб сума квадратів S булу мінімальною. З рівнянь (3) і (4) отрімуємо
(5)
Умови мінімуму S будут
(6)
(7)
Рівняння (6) і (7) можна записатися в такому вігляді:
(8)
(9)
З рівнянь (8) і (9) легко найти a и b по досвідченім значень xi и yi. Пряма (2), обумовлена ​​рівняннямі (8) та (9), назівається прямою, отріманої за методом найменшого квадратів (цією Назв підкреслюється ті, что сума квадратів S має мінімум). Рівняння (8) і (9), з якіх візначається пряма (2), назіваються нормальними рівняннямі. Можна вказаті Простий и загальний способ складання нормальних рівнянь. Вікорістовуючі досвідчені точки (1) i рівняння (2), можна записатися систему рівнянь для a и b
В
Помножімо ліву и праву Частини шкірного з ціх рівнянь на коефіцієнт при першій невідомої a (тоб на x1, x2, ..., xn) i складемо Отримані рівняння, в результаті Отримала перший нормальне рівняння (8) .
Помножімо ліву и праву Частини шкірного з ціх рівнянь на коефіцієнт при Другій невідомої b, тоб на 1, и складемо Отримані рівняння, в результаті получил інший нормальний рівняння (...
