9).
цею способ Отримання нормальних рівнянь є загально: Він Придатний, Наприклад, и для Функції
y = a0 + a1x + a2x2 + ... + anxn. (11)
Природно, що тут Вийди система з n +1 нормального рівняння для визначення величин a0, a1, a2, ..., an. p align="justify"> Розглянемо окремий випадок! застосування методу найменшого квадратів. Нехай з Теорії відомо, что
= y/x (12)
є величина Постійна и ее нужно візначіті по досвідченім данім (1).
Систему рівнянь для k можна записатися:
В
Для Отримання нормального рівняння помножімо Кожне з ціх рівнянь на коефіцієнт при невідомій k, тоб на 1, и складемо Отримані рівняння
(14)
(15)
Отже, середнє Арифметичний, отриманий з досвідченіх відносін yi/xi, Дає решение поставленої задачі за методом найменшого квадратів. Це ВАЖЛИВО властівість середньої аріфметічної пояснює ее ШИРОКЕ! Застосування в практіці ОБРОБКИ дослідних даніх. p align="justify"> Приклад 1 На досвіді Отримані Значення x и y, Зведені в таблицю
x123456y5, 26,37,18,59,210,0
знайте пряму (2) за методом найменшого квадратів.
Рішення. знаходимо:
xi = 21, yi = 46,3, xi2 = 91, xiyi = 179,1. br/>
Запісуємо рівняння (8) і (9)
a +21 b = 179,1,
a +6 b = 46,3,
звідсі знаходимо = 0,98 b = 4,3. p> Оцінка точності методу найменшого квадратів.
Дамо оцінку точності методу для лінійного випадка, коли має місце рівняння (2). Нехай досвідчені Значення xi є точними, а досвідчені Значення yi мают віпадкові помилки з однакової дісперсією для всіх i введемо позначені:
(16)
Тоді решение рівнянь (8) і (9) можна представіті у вігляді
(17)
(18)
(19)
З рівняння (17) знаходимо
(20)
Аналогічно з рівняння (18) отрімуємо
(21)
(22)
З рівнянь (21) та (22) знаходимо
(23)
Рівняння (20) і (23) дають оцінку точності Коефіцієнтів, визначених за рівнянням (8) і (9).
Зауважімо, что КОЕФІЦІЄНТИ a и b корельовані. Шляхом простих перетвореності знаходимо їх кореляційній момент. br/>
(24)
Рівняння (20), (23) і (24) дозволяють найти оцінку для помилки y, якові Дає рівняння (2) у довільній точці x, ЯКЩО КОЕФІЦІЄНТИ a и b знайдені по рівняннях (8) i (9). З рівнянь (2), (20), (23) і (24) знаходимо
(25)
На підставі рівнянь (20), (23) і (25) можна сделать наступні Висновки:
. Точність Коефіцієнтів a и b тім Вище, чім больше sx, тоб чім больше розсіювання досвідченіх точок на осі x.
2.Точн...
