гою деякого граничного процесу, саме розглядаючи його як межа послідовності добре відомих і легко визначених чисел. p> Вже Архімед у своєму методі вичерпання вступив на цей шлях, вичерпуючи все більш і більш коло за допомогою правильних багатокутників із зростаючим числом сторін, все тісніше і тісніше прилеглих до кола. Якщо позначити через площу правильного вписаного в коло m-кутника, то площа 2m-кутника виражається через відомою з елементарної математики формулою:
В
Змушуючи пробігати чи не послідовність всіх цілих чисел, але тільки послідовність ступенів числа 2,, тобто розглядаючи якраз ті правильні багатокутники, вершини яких виходять шляхом послідовного розподілу окружності навпіл, ми отримаємо площа кола в якості межі
.
Це подання числа у вигляді межі дійсно дає засіб для наближеного його обчислення; справді, вирушаючи від значення, можна послідовно обчислювати члени цієї послідовності, збіжної до межі. Оцінку ступеня наближення члена до числа можна отримати так. Побудуємо дотичні до кола, паралельні сторонам вписаного кутника. Ці дотичні утворюють описаний багатокутник, подібний вписаній косинцю, зі сторонами, збільшеними у відношенні. Тому площа описаного багатокутника дається формулою
В
Оскільки площа описаного багатокутника, очевидно, більше площі кола, то
.
Ми хотіли б тут зазначити, що цей спосіб обчислення площ шляхом вичерпування даної фігури за допомогою багатокутників, площі яких легко обчислити, лежить в основі поняття інтеграла В»[4, с.65].
Розглянемо доказ точного значення числа, а точніше теорему № 1 Арзуманяна:
Число одно твору відносини прямого кута до надмалому кутку на синус подвоєного цього сверхмалого кута.
Доказ:
В
Дане побудова прямокутного трикутника засноване на теоремі, згідно з якою кут, вписаний в коло, дорівнює половині відповідного центрального кута. Таким чином, вписаний в коло кут, оскільки побудований на центральному вугіллі. br/>
;
;
;
;
;
Тоді
;
Тепер площа В«колаВ» при надмалих значеннях кута буде такою:
,
де - кількість трикутників типу, складових окружність за надмалих значеннях кута.
З іншого боку, площа кола визначається як переважаюча площа квадрата зі стороною, рівною радіусу кола R, на число:
.
Прирівняємо
;
.
Теорему № 1 доведено.
В
Рис. 2. Неправильний багатокутник, який виходить при обертанні при куті. br/>
Арзуманян визнає, що має справу з цим багатокутником: В«... взявши прямокутний і обертаючи його навколо точки O на 360 В°, ми отримаємо якийсь багатокутник, який можна назвати колом при дуже малих значеннях сторони AB цього прямокутного трикутникаВ» з якоюсь ступенем округлення багатокутника, як би його згладжування.
З'ясуємо: якщо зробит...
