ж передбачити випадкову помилку одиничного вимірювання. Теорія помилок займається в основному вивченням випадкових помилок. p align="justify"> Випадкова справжня помилка виміру ? - це різниця між виміряним значенням величини l і її істинним значенням X:
(1.25)
Властивості випадкових помилок. Випадкові помилки підкоряються деяким закономірностям:
за даних умов вимірювань абсолютні значення випадкових помилок не перевершують деякої межі; якщо яка-небудь помилка виходить за цю межу, вона вважається грубої,
позитивні і негативні випадкові помилки рівноможливі,
середнє арифметичне випадкових помилок прагне до нуля при необмеженому зростанні числа вимірів. Третя властивість випадкових помилок записується так:
(1.26)
малі за абсолютною величиною випадкові помилки зустрічаються частіше, ніж великі.
Крім того, у всій масі випадкових помилок не повинно бути явних закономірностей ні по знаку, який ні за величиною. Якщо закономірність виявляється, значить тут позначається вплив якоїсь систематичної помилки. p align="justify"> Середня квадратична помилка одного виміру. Для оцінки точності вимірів можна застосовувати різні критерії; в геодезії таким критерієм є середня квадратична помилка. Це поняття було введено Гауссом; він же розробив основні положення теорії помилок. Середня квадратична помилка одного виміру позначається буквою m і обчислюється за формулою Гаусса
(1.27)
де: ;
n - кількість вимірювань однієї величини.
Середня квадратична помилка дуже чутлива до великих за абсолютною величиною помилок, оскільки кожна помилка зводиться в квадрат. У той же час вона є стійким критерієм для оцінки точності навіть при невеликому кількість вимірювань; починаючи з деякого n подальше збільшення числа вимірів майже не змінює значення m; доведено, що вже при n = 8 значення m виходить досить надійним. p align="justify"> Гранична помилка ряду вимірювань позначається ? перед; вона зазвичай приймається рівною 3 * m при теоретичних дослідженнях і 2 * m або 2.5 * m при практичних вимірах. Вважається, що з тисячі вимірів тільки три помилки можуть досягати чи трохи перевищувати значення ? перед = 3 * m.
Ставлення mx/X називається середньої квадратичної відносної помилкою; для деяких видів вимірювань відносна помилка більш наочна, ніж m. Відносна помилка виражається дробом з чисельником, рівним 1, наприклад, mx/X = 1/10 000. p align="justify"> Середня квадратична помилка функції виміряних величин. Виведемо формулу середньої квадратичної помилки функції декількох аргументів довільного виду:
F = f (X, Y, Z ...), (1.28)
тут: X, Y, Z ... - Істинні значення аргументів, - справжнє значення функції. p align="justify"> В результаті вимірювань отримані виміряні значення аргументів lX, lY, lZ, при цьому:
(1.29)
де ? X,? Y,? Z - випадкові істинні помилки виміру аргументів.
Функцію F можна виразити через виміряні значення аргуметом і їхні щирі помилки:
В
Розкладемо функцію F в ряд Тейлора, обмежившись першим ступенем малих збільшень ? X,? Y,? Z:
(1.30)
Різниця є випадковою істинної помилкою функції з протилежним знаком, тому:
(1.31)
Якщо виконати n вимірювань аргументів X, Y, Z, то можна записати n рівнянь виду (1.31). Зведемо всі ці рівняння в квадрат і складемо їх; сумарне рівняння розділимо на n і отримаємо
В В
У силу третього властивості випадкових помилок члени, що містять твори випадкових помилок, будуть незначними за величиною, і їх можна нехтувати; таким чином,
(1.32)
Як приватні випадки формули (1.32) можна написати вираження для середньої квадратичної помилки деяких функцій:
В
Якщо функція має вигляд твори кількох аргументів,
F = x * y * z,
