tify"> то для неї можна записати вираз відносної помилки функції:
(1.33)
яке в деяких випадках виявляється більш зручним, ніж формула. Принцип рівних впливів. У геодезії часто доводиться визначати середні квадратичні помилки аргументів за заданою середньої квадратичної помилку функції. Якщо аргумент всього один, то рішення задачі не становить труднощі. Якщо число аргументів t більше одного, то виникає задача знаходження t невідомих з одного рівняння, яке можна вирішити, застосовуючи принцип рівних впливів. Згідно з цим принципом всі доданки правої частини формули (1.32) або (1.33) вважаються рівними між собою. Арифметична середина. Нехай є n вимірювань однієї величини X, то-есть,
(1.34)
Складемо ці рівності, сумарне рівняння розділимо на n і отримаємо:
(1.35)
Величина називається середнім арифметичним або простої арифметичної серединою. Запишемо (1.35) у вигляді
В
по третьому ознакою помилок (1.26) можна написати:
В
що означає, що при необмеженому зростанні кількості вимірювань проста арифметична середина прагне до істинного значення вимірюваної величини. При обмеженій кількості вимірів арифметична середина є найбільш надійним і достовірним значенням вимірюваної величини. p align="justify"> Запишемо формулу (1.36) у вигляді
В
і підрахуємо середню квадратичну помилку арифметичної середини, яка позначається буквою M. Відповідно до формули (1.32) напишемо:
В В
Але ml1 = ml2 = ... = Mln = m за умовою задачі, так як величина X вимірюється за одних і тих же умовах. Тоді в квадратних дужках буде n * m2, одне n скоротиться і у результаті отримаємо:
M2 = m2/n
(1.37)
то-есть, середня квадратична помилка арифметичної середини в корінь з n разів менше помилки одного виміру.
Обчислення середньоквадратичної помилки по ухиленням від арифметичної середини. Формулу Гаусса (1.27) застосовують лише в теоретичних викладках та при дослідженнях приладів і методів вимірювань, коли відомо справжнє значення вимірюваної величини. На практиці воно, як правило, невідомо, та оцінку точності виконують за ухиленням від арифметичної середини. p align="justify"> Нехай є ряд равноточних вимірювань величини X:
l1, l2, ..., ln.
Обчислимо арифметичну середину X0 = [1]/n і утворюємо різниці:
(1.38)
Складемо всі різниці і отримаємо [l] - n * X0 = [V]. За визначенням арифметичної середини n * X0 = [l], тому: [V] = 0. p align="justify"> Величини V називають вероятнейшими помилками вимірювань; саме за їх значенням і обчислюють на практиці середню квадратичну помилку одного виміру, використовуючи для цього формулу Бесселя:
(1.40)
Наведемо висновок цієї формули. Утворюємо різниці випадкових істинних помилок вимірів ? та ймовірність помилок V:
(1.41)
Різниця (X0 - X) дорівнює істинної помилку арифметичної середини; позначимо її ? 0 і перепишемо рівняння (1.41) :
(1.42)
Зведемо всі рівняння (1.42) у квадрат, складемо їх і отримаємо:
.
Другий доданок в правій частині цього виразу дорівнює нулю по властивості (1.39), отже,
.
Розділимо це рівняння на n і врахувавши, що [? 2 ]/n = m2, отримаємо:
(1.43)
Замінимо справжню помилку арифметичної середини ? 0 її середньої квадратичною помилкою ; така заміна практично не змінить правій частині формули (1.43). Отже,
,
звідки ;
після перенесення (n-1) в праву частину і добування квадратного кореня ви...
