істю збігається із зворотним ходом прикладу 3.1. Рішення системи має вигляд: В
x 1 = 1.000 , x 2 = 2.000, x 3 = 3.000, x 4 = - 1.000. p> 3.4 Обчислення визначника методом виключення Гауса
З к урса лінійної алгебри відомо, що визначник трикутної матриці дорівнює твору діагональних елементів. В результаті методу виключень Гауса система лінійних рівнянь (3.2) з квадратною матрицею A наводиться до еквівалентної їй системі (3.8) з трикутною матрицею A n . Тому
det A = (-1) s det A n ,
де s - число перестановок рядків, (s = 0, якщо використовувався метод Гауса за схемою єдиного ділення). Таким чином,
det A = (-1) s a 11 aa ... a (3.17)
Отже, для обчислення визначника det A необхідно виконати процедуру прямого ходу в методі Гауса для системи рівнянь Ax = 0, потім знайти твір головних елементів, що стоять на діагоналі трикутної матриці і помножити цей твір на (-1) s , де s - число перестановок рядків.
Приклад 3.3.
Обчислимо визначник det A =
2.0 1.0 0.1 1.0
0.4 0.5 4.0 8.5
0.3 1.0 1.0 5.2
1.0 0.2 2.5 1.0
Даний визначник співпадає з визначником системи, розглянутої в прикладі 3.1. Він дорівнює добутку діагональних елементів трикутної матриці (3.13):
det A = 2.0 Г— 0.30 Г— 16.425 Г— 1.12 = 11.0376. br/>
Якщо ж звернутися до прикладу 3.2, то, враховуючи, що була одна перестановка рядків, тобто s = 1, отримаємо:
det A = (-1) Г— 2.0 Г— (-1.15) Г— 4.28478 Г— 1.11998 = 11.0375. p> 3.5 Обчислення зворотної матриці методом виключення Гауса
В
Зворотною матрицею до матриці A називається матриця A - 1 , для якої виконано співвідношення:
AA - 1 = E , (3.18)
де E - одинична матриця:
1 0 0 ... 0
0 1 0 ... 0
E = 0 0 1 ... 0. (3.19)
0 0 0 ... 1
Квадратна матриця A називається невиродженому, якщо det A В№ 0. Всяка невироджених матриця має зворотну матрицю.
Обчислення зворотної матриці можна звести до розглянутої вище задачі розв'язання системи рівнянь.
Нехай A - Квадратна невироджених матриця порядку n :
a 11 a 12 a 13 ... a 1 n
a 21 a 22 a 23 ... a 2 n
A = a 31 a 32 a 33 ... A 3 n
В
a n 1 a n 2 a n 3 ... a nn
В
і A -1 - її зворотна матриця:
x 11 x 12 x 13 ... x 1 n
x 21 x 22 x 23 ... x 2 n
A -1 = x 31 x 32 x 33 ... X 3 n
В
x n 1 x n 2 x n 3 ... x nn
Використовуючи співвідношення (3.18), (3. 19) і правило множення матриць, отримаємо систему з n 2 рівнянь з n 2 змінними x ij , i, j = 1, 2, ..., n . Щоб отримати перший стовпець матриці E , потрібно почленно помножити кожен рядок матриці A на перший стовпець матриці A -1 і прирівняти отриманий добуток відповідному елементу першого шпальти матриці E. Внаслідок отримаємо систему рівнянь:
a 11 x 11 + a 12 x 21 + a 13 x 31 + ... + a 1 n x n
