третє рівняння, отримаємо x 3 = 2.000. Підставляючи знайдені значення x 4 і x 3 у друге рівняння, знайдемо x 2 = 3.000. Нарешті, з першого рівняння, підставивши в нього знайдені значення x 4 , x 3 і x 2 , обчислимо x 1 =
- 1.000
. Отже система (3.10) має наступне рішення:
В
x 1 = 1.000 , x 2 = 2.000, x 3 = 3.000, x 4 = - 1.000. p> 3.3 Метод виключення Гауса з вибором головного елемента по стовпці
Хоча метод Гаусса є точним методом, помилки округлення можуть призвести до суттєвих погрішностей результату. Крім того виняток за формулами (3.7) не можна проводити, якщо елемент головної діагоналі a дорівнює нулю. Якщо елемент a малий, то великі помилки округлення при діленні на цей елемент. Для зменшення помилок округлення застосовують метод виключення Гауса з вибором головного елемента по стовпцю. Прямий хід так само, як і для схеми єдиного ділення, складається з n - 1 кроків. На першому кроці перш, ніж виключати змінну x 1 , рівняння переставляються так, щоб в лівому верхньому кутку був найбільший за модулю коефіцієнт a i 1 , i = 1, 2, ..., n. Надалі, на k -му кроці, перш, ніж виключати змінну x k , рівняння переставляються так, щоб в лівому верхньому кутку був найбільший за модулю коефіцієнт a ik , i = k, k + 1, ..., n. Після цієї перестановки виняток змінної x k виробляють, як у схемі єдиного ділення. p> Трудомісткість методу. Додаткові дії з вибору головних елементів вимагають приблизно n 2 операцій, що практично не впливає на загальну трудомісткість методу. p> Приклад 3.2.
Застосуємо метод виключення Гауса з вибором головного елемента по стовпці для вирішення системи рівнянь (3.10) з прикладу 3.1. Прямий хід. 1-ий крок. Так як коефіцієнт a 11 = 2.0 найбільший з коефіцієнтів першого стовпця, перестановки рядків не потрібно і 1-ий крок повністю співпадає з 1-им кроком прикладу 3.1. З другого, третього і четвертого рівнянь виключається змінна x 1 і система приводиться до вигляду (3.11).
2-ий крок. Найбільший за модулем коефіцієнт при x 2 в системі (3.11) a = - 1.15. Тому переставимо рівняння наступним чином:
2.0 x 1 + 1.0 x 2 - 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
- 1.15 x 2 + 1.015 x 3 + 5.05 x 4 = - 4.305 (3.14)
0.3 x 2 + 4.02 x 3 - 8.70 x 4 = 21.36
- 0.30 x 2 + 2.55 x 3 - 1.50 x 4 = 8.55
Обчислимо множники:
В
m === -0.26087 M === 0.26087. br/>
Віднімаючи з третього і четвертого рівнянь системи (3.14) друге рівняння, помножене відповідно на m і m, приходимо до системи:
2.0 x 1 + 1.0 x 2 - 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
- 1.15 x 2 + 1.015 x 3 + 5.05 x 4 = - 4.305 (3.15)
4.28478 x 3 - 7 .38261 x 4 = 20.23696
2.28522 x 3 - 2.81739 x 4 = 9.67305
3-ій крок. Обчислимо множник:
В
m === 0.53333.
Віднімаючи з четвертого рівняння системи (3.15) третя, помножене на m , наведемо систему до трикутного вигляду:
2.0 x 1 + 1.0 x 2 - 0.1 x 3 + 1.0 x 4 = 2.7
- 1.15 x 2 + 1.015 x 3 + 5.05 x 4 = - 4.305 (3.16)
4.28478 x 3 - 7 .38261 x 4 = 20.23696
1.11998 x 4 = - 1.11998
Зворотний хід. Зворотний хід повн...
