> 1 = 1
a 21 x 11 + a 22 x 21 + a 23 x 31 + ... + a 2 n x n 1 = 0
a 31 x 11 + a 32 x 21 + a 33 x 31 + ... + a 3 n x n 1 = 0 (3.20)
В
a n 1 x 11 + a n 2 x 21 + a n 3 x 31 + ... + a nn x n 1 = 0
Аналогічно, щоб отримати другий стовпець матриці E , потрібно почленно помножити кожен рядок матриці A на другий стовпець матриці A -1 і прирівняти отриманий добуток відповідному елементу другого шпальти матриці E. У результаті одержимо систему рівнянь:
a 11 x 12 + a 12 x 22 + a 13 x 32 + ... + a 1 n x n 2 = 0
a 21 x 12 + a 22 x 22 + a 23 x 32 + ... + a 2 n x n 2 = 1
a 31 x 12 + a 32 x 22 + a 33 x 32 + ... + a 3 n x n 2 = 0 (3.21)
В
a n 1 x 12 + a n 2 x 22 + a n 3 x 32 + ... + a nn x n 2 = 0
і т. д.
Всього таким чином отримаємо n систем по n рівнянь в кожній системі, причому всі ці системи мають одну і ту ж матрицю A і відрізняються тільки вільними членами. Приведення матриці A до трикутної за формулами (3.7) робиться при цьому тільки один раз. Потім за останньою з формул (3.7) перетворюються всі праві частини, і для кожної правої частини робиться зворотний хід.
Приклад 3.4.
Обчислимо зворотну матрицю A -1 для матриці
A = 1.8 -3.8 0.7 -3.7
0.7 2.1 -2.6 -2.8
7.3 8.1 1.7 -4.9
1.9 -4.3 -4.3 -4.7
За формулами (3.7) за три кроки прямого ходу перетворимо матрицю A в трикутну матрицю
1.8 -3.8 0.7 -3.7
0 3.57778 -2.87222 -1.36111
0 0 17.73577 19.04992
0 0 0 5.40155
Далі, застосуємо процедуру зворотного ходу чотири рази для стовпців вільних членів, перетворених за формулами (3.7) з стовпців одиничної матриці:
В
1 0 0 0
0 1 0 0
0, 0, 1, 0
0 0 0 1
Щоразу будемо отримувати стовпці матриці A -1 . Опустивши проміжні обчислення, наведемо остаточний вигляд матриці A -1 :
-0.21121 -0.46003 0.16248 0.26956
-0.03533 0.16873 0.01573 -0.08920
0.23030 0.04607 -0.00944 -0.19885.
-0.29316 -0.38837 0.06128 0.18513
В
3.6 Метод простої ітерації Якобі
Метод Гауса володіє досить складної обчислювальної схемою. Крім того, при обчисленнях накопичується помилка округлення, що може призвести до недостатньо точному результату. Розглянемо метод простої ітерації Якобі, вільний від цих недоліків, хоча вимагає приведення вихідної системи рівнянь до спеціального виду.
Для того, щоб застосувати метод простої ітерації, необхідно систему рівнянь
Ax = b (3.22 )
з квадратною невиродженому матрицею A привести до вигляду
x = Bx + c, (3.23)
де B - Квадратна невироджених матриця з елементами b ij , i, j = 1, 2, ..., n, x - вектор-стовпець невідомих x i , c - вектор-стовпець з елементами c i , i = 1, 2, ..., n .
Існують різні способ...
