х точок на їх ординати (тобто на відстані цих точок від осі Ох): В
Аналогічно визначається статистичний момент S цієї системи щодо осі Oy: S =.
Якщо маси розподілені безперервним чином уздовж деякої кривої, то для вираження статичного моменту знадобиться інтегрування ня.
Нехай у = f /(х) (a ≤ х ≤ b ) - це рівняння матеріальної кривої АВ. Будемо вважати її однорідною з постійною лінійної щільністю (= const).
Для довільного х [а; b] на кривій АВ знайдеться точка з координатами (х; у). Виділимо на кривій елементарний ділянку довжини dl , містить точку (х; у). Тоді маса цієї ділянки дорівнює . Приймемо цю ділянку dl наближено за точку, відстоїть від осі Ох на відстані у. Тоді диференціал статичного моменту dS ("елементарний момент") буде дорівнює, тобто . p> Звідси випливає, що статичний момент S Х кривої АВ щодо осі Ох дорівнює
В
Аналогічно знаходимо S:
В
Статичні моменти S Х і S У кривої дозволяють легко встановити положення її центру ваги (центра мас).
Центром ваги матеріальної плоскої кривої у = f (х), х 6 [а; b] називається точка площини, що володіє наступним властивістю: якщо в цій точці зосередити всю масу т заданої кривої, то статичний момент цієї точки щодо будь координатної осі буде дорівнює статичному моменту всієї кривої у = f (х) щодо тієї ж осі. Позначимо через С (х з ; у з ) центр ваги кривої АВ.
З визначення центру ваги слідують рівності і чи і. Звідси,
або
В
Приклад. Знайти центр тяжкості однорідної дуги кола x + y = R 2 , розташованої в першої координатної чверті (рис 16). [5]
Рис 16
Рішення: Очевидно, довжина зазначеної кола дорівнює, тобто . Знайдемо статистичний момент її відносно осі Ох. Так як рівняння дуги є і, то () В
.
Стало бути,
В
Так як дана дуга симетрична щодо бісектриси першого координатного кута, то х з = у з = Отже, центр ваги має координати (;).
3.3.5 Обчислення статичних моментів і координат центру ваги плоскої фігури
Нехай дана матеріальна плоска фігура (платівка), обмежена кривою у = f (х) ≥ 0 і прямими у = 0, х = А, х = b ) (рис 17). p> Будемо вважати, що поверхнева щільність платівки постійна (= const). Тоді маса всі...
