а функції f i ( x, u ) в”Ђ перші безперервні похідні де i, j = 1,2, ..., n.
Нехай ( u ( t), x ( t) ) , t 0 ≤ t ≤ t 1 , в”Ђ оптимальний процес, що переводить об'єкт (1.2) (або (1.3)) з фазового стану x 0 у стан x 1 . Фіксуємо деякий момент часу t , t 0 ≤ t ≤ t 1 , і розглянемо функцію B ( x, u ( t )) = змінного x. В силу гіпотези 3 випливає, що функція B ( x, u ( t )) усюди, крім точки x 1 , має безперервні похідні по змінним x 1 , x 2 , ..., x n :
(1.17)
Зокрема, так як x ( t ) в‰ x 1 (оскільки t < t 1 ), то функція B ( x, u ( t )) має поблизу точки x = x ( t ) безперервні похідні по змінним x 1 , x 2 , ..., x n . Далі, ми маємо в силу (1.15), (1.16) B ( x, u ( t )) ≤ 1 для будь-якого x в‰ x 1 ; B ( x, u ( t )) = 1 при x = x ( t ).
Ці два співвідношення означають, що функція B ( x, u ( t )) досягає в точці x = x ( t ) максимуму, і тому її приватні похідні по x 1 , ..., x n звертаються в нуль в цій точці:
(1.18)
Крім того, диференціюючи функцію по t, знаходимо
В
Тому співвідношення (1.18) може бути переписано в наступному вигляді:
(1.19)
Зауважимо тепер, що у формули (1.15), (1.16), (1.17) і (1.19) сама функція П‰ не входить, а входять лише її приватні похідні. Тому ми введемо для зручності наступні позначення:
(1.20)
Тоді функція B (див. (1.14)) записується таким чином:
B ( x ( t ) , u ( t )) =
і співвідношення (1.16) приймає вигляд
, для оптимального процесу ( x ( t ), u ( t )), t < sub> 0 ≤ t < t 1 . (1.21)
Крім того, згідно (1.15)
для будь-якої точки u U і всіх t 0 ≤ t < t 1 . (1.22)
Нарешті, співвідношення (1.19) записуються таким чином:
(1.23)
Отже, якщо ( u ( t ), x ( t )), t 0 ≤ t < t 1 , в”Ђ оптимальн...
