Реферат Деякі додаткові обчислювальні методи

Тема: Курсовые проекты

аналітично, то ставиться питання про оцінці похибки. Нехай для функції y = f (x) відомі в n +1 точках x 0 , x 1 , x 2 , ..., x n відрізка [a, b] відповідні значення f (x i ) = y i (i = 0, 1, 2, ..., n). Потрібен наближено знайти За заданим значенням y i побудуємо поліном ЛагранжаВ , Де

П n +1 (x) = (xx 0 ) (xx 1 ) ... (xx n ), причому L n (x i ) = y i (I = 0, 1, 2, ..., n). Замінюючи функцію f (x) поліномом L n (x), отримаємо рівність де R n [f] - помилка квадратурної формули. Звідси отримуємо наближену квадратурної формули

де (i = 0, 1, 2, ..., n). Для обчислення A i зауважимо, що

1) коефіцієнти A i при даному розташуванні вузлів не залежать від вибору функції f (x);

2) для полінома ступеня n отримана формула - точна, бо тоді L n (x) = f (x); отже, формула - точна при y = x k (k = 0, 1, 2, ..., n), тобто R n [x k ] = 0 при k = 0, 1, ..., N. Вважаючи y = x k (k = 0, 1, 2, ..., n), отримаємо лінійну систему з n +1 рівнянь - де (k = 0, 1, ..., n), з якої можна визначити коефіцієнти A 0 , A 1 , ..., A n .

Складові квадратурні формули

Наведемо ряд найпростіших квадратурних формул, використовуються в практиці чисельного інтегрування функції f (x) на деякому інтервалі [a, b], розбитого на n рівних відрізків точками a 0 = a, a 1 = a + h, a 2 = a +2 h, ..., a n = a + nh + b, де n = 0,1, ..., k і Покладемо f (x n ) = y n = f (a + nh).

Формула прямокутників:

Похибка формули визначається виразом

де

Формула трапецій:

Похибка формули визначається виразом

де

Формула Сімпсона: де

Похибка формули визначається виразом

де

Якщо довжина інтервалу [a, b] велика для застосування найпростіших квадратурних формул, то поступають наступним чином:

1) інтервал [a, b] розбивають точками x i , на n інтервалів по деякому правилу;

2) на кожному частковому інтервалі [x i , x i +1 ] застосовують найпростішу квадратурної формули, знаходять наближене значення інтеграла