sub> i ), i = 0, ..., n.
інтерполяційними кубічним сплайном S 3 (x) називається сплайн
S 3 (x) = а i0 + а i1 (x - x i ) + а i2 (x - x i ) 2 + а i3 (x - x i ) 3 , xГЋ [x i , x i +1 ], що задовольняє умовам
S 3 (x i ) = f (x i ), i = 0, ..., n.
Даний сплайн на кожному з відрізків [x i , x i +1 ], i = 0, ..., n-1 визначається чотирма коефіцієнтами, і тому для його побудови на всьому проміжку [a, b] необхідно визначити 4n коефіцієнтів. Для їх однозначного визначення необхідно задати 4n рівнянь. p> Умова S 3 (x i ) = f (x i ), i = 0, ..., n дає 2n рівнянь, при цьому функція S 3 (x i ), задовольняє цим умовам, буде неперервна у всіх внутрішніх вузлах. p> Умова безперервності похідних сплайна, r = 1,2 у всіх внутрішніх вузлах x i , i = 1, ..., n-1 сітки D дає 2 (n-1) рівностей.
Разом виходить 4N-2 рівнянь.
Два додаткових умови зазвичай задаються в вигляді обмежень на значення похідних сплайна на кінцях проміжку [a, b] і називаються крайовими умовами.
Найбільш споживані наступні типи крайових умов:
а) S ' 3 (а) = f' (а), S '(b) = f' (b) ;
б) S " 3 (а) = f" (а), S " ; ( b) = f "( b) ;
в);
г) S'' ' 3 (x p +0 ) = S'' ' 3 (x p -0 ), р = 1, n-1 .
4. Чисельне диференціювання та інтегрування
Якщо функція f (x) заданна аналітично її первообразная F (x) є елементарною функцією, то обчислюється за формулою Ньютона-Лейбніца: У тих випадках, коли функція f (x) задана аналітично, але її первообразная не є елементарною функцією або відшукати її складно, а також у разі, коли функція f (x) задана графічно або таблично, для обчислення застосовуються наближені методи.
Постановка завдання чисельного інтегрування
В
Задача чисельного інтегрування функції полягає в обчисленні певного інтеграла на підставі ряду значень подинтегральной функції. Чисельне обчислення однократного інтеграла називається механічної квадратурою . Звичайний прийом механічної квадратури складається в тому, що дану функцію f (x) на розглянутому відрізку [a, b] замінюють інтерполюючої або апроксимуючої функцією П† (x) простого виду, а потім наближено вважають: Функція П† (x) повинна бути така, щоб інтеграл обчислювався безпосередньо. Якщо функція f (x) заданна...
