ням називається рівність, в якомуВ - Незалежна змінна, що змінюється в деякому відрізку, а - невідома функція від, яку і треба знайти. Розрізняють два типи звичайних диференціальних рівнянь - рівняння без початкових умов та рівняння з початковими умовами. Рівняння без початкових умов - це якраз те, що було тільки що визначено. А рівняння з початковими умовами - це записане вище рівняння щодо функціїВ , Але в якому потрібно знайти лише таку функцію, яка задовольняє при деякому таким умовам:
, тобто в точці функціяВ і її перші похідних приймають наперед задані значення. У цій ситуації число називається порядком рівняння . br/>
Метод Рунге-Кутта
Викладемо ідею методу на прикладі:
Інтегруючи це рівняння в межах від x до x + H (0 О”y = y (x + h)-y (x) і заміну змінної інтегрування t = x + ah. Остаточно отримаємо:
Вказавши ефективний метод наближеного обчислення інтеграла в вираженні, ми отримаємо при цьому одне з правил чисельного інтегрування рівняння
Постараємося скласти лінійну комбінацію величин j i , i = 0, 1, ..., q, яка бути аналогом квадратурної суми і дозволить обчислити наближене значення прирощення Dy: де
В
Метод четвертого порядку для q = 3, має вигляд де
В
Особливо широко відомо інше обчислювальне правило Рунге-Кутта четвертого порядку точності:В де
В
Метод Рунге-Кутта має похибку четвертого порядку ( ~ h 4 ).
Правило Рунге. Якщо наближений метод має порядок погрішності m, то похибка можна наближено оцінити за формулою
У формулі O (x i ) - головний член похибки, і - наближені рішення в точці x i , знайдені з кроком h і 2h відповідно.
Екстраполяційні методи Адамса
Широко поширеним сімейством багатокрокових методів є методи Адамса. Найпростіший з них, получающийся при, збігається з розглянутим раніше методом Ейлера першого порядку точності. У практичних розрахунках найчастіше використовується варіант методу Адамса, який має четвертий порядок точності і використовує на кожному кроці результати попередніх чотирьох. Саме його і називають зазвичай методом Адамса. Розглянемо цей метод. p> Нехай знайдено значення в чотирьох послідовних вузлах. При цьому маються також обчислені раніше значення правої частини. В якості інтерполяційного многочлена можна взяти багаточлен Ньютона. У разі постійного кроку кінцеві різниці для правої частини у вузлі мають вигляд. p> Тоді різницева схема четвертого порядку методу Адамса запишеться у вигляді.
