і прагнуть до нуля так само, як коли і . Пуанкаре показав, що в зазначених умовах диференціальне рівняння
, (2.23)
має ті ж особливості, що і просте рівняння лінійної системи
. (2.24)
Крім того, Пуанкаре показав, що критерій для розрізнення типів особливостей рівняння (2.23) можна виразити через і . У деяких випадках ; це означає, що мають місце особливості вищого порядку.
2.2 Різні типи особливостей
Вивчимо чотири приватних випадку рівняння (2.24), в яких це диференціальне рівняння може бути наочно вирішено. Для наших цілей ці чотири випадки представляють чотири типи особливостей, які важливі в подальшому. p align="justify"> Випадок 1. Інтегрування цього рівняння дає вираз фазових траєкторій: . Якщо , ясно, що всі графіки - прямі лінії, що проходять через початок координат (рис. 2.3 - а). Якщо , всі криві проходять через початок координат і дотичної до осі , за винятком кривої (рис. 2.3 - б). Якщо , всі траєкторії проходять через початок координат і стосуються осі , за винятком траєкторії . У всіх трьох випадках початок координат називають нестійкою вузловий точкою, або нестійким вузлом.
В
Рис. 2.3 Фазові портрети, ілюструють особливу точку типу В«вузолВ»
Ситуація абсолютно відрізняється, якщо . Фазові криві мають дві асимптоти: , , що збігаються з осями координат. Лише ці дві траєкторії проходять через початок координат; всі інші уникають його. Цей тип особливості називають сідлом (рис. 2.4). Сідло - така особлива точка, до якої прагнуть тільки траєкторії, що є асимптотами фазових кривих. Кожна асимптота називається сепаратріссой. У разі маятника без тертя (див. рис. 2.2) нестійкі стану рівноваги ( - непарне) відповідають особливостям цього роду.
В
Рис. 2.4 Поведінка фазових траєкторій в околиці особливої вЂ‹вЂ‹точки типу В«сідлоВ»
Випадок 2. (тобто )....
