Для цього випадку , і фазові криві - еліпси ( ) з центром на початку координат або кола, коли . Така особливість називається центром (див. рис. 2.1), а відповідний фазовий портрет представляє періодичне рух. Стійкі точки рівноваги ( - будь-яке ціле число) маятника без тертя (рис. 2.2) належить до цього типу.
Випадок 3. (тобто ), причому . Це рівняння можна вирішити, вводячи полярні координати . У нових змінних рівняння зводиться до , і траєкторії виходять як ; вони являють собою логарифмічні спіралі (рис. 2.5). Така особливість при називається стійким фокусом (нестійкий фокус при ) і зустрічається при нелінійному аналізі ФАП у відсутність шуму. Якщо фокус стійкий, рух прагне до початку координат; в разі нестійкості рух розходиться від початку координат.
Випадок 4. . Підстановка переводить це рівняння в більш просте , звідки < span align = "justify">, або .
В
Рис. 2.5 Поведінка фазових траєкторій в околиці особливої вЂ‹вЂ‹точки типу В«фокусВ»
Всі криві (рис. 2.6) проходять через початок координат. Початок координат знову виявляється нестійким вузлом. br/>В
Рис. 2.6 Поведінка фазових траєкторій в околиці вузла
Нарешті, згідно (2.20) нахил фазової траєкторії є деякою функцією і , скажімо . Годограф точки, яка рухається таким чином, що ( - константа), визначений Ван дер Полем [5] як ізокліни. Часто нескладно методом ізоклін визначити тип особливої вЂ‹вЂ‹точки і з'ясувати, є вона стійкою чи ні.
.3 Маятник з тертям, пропорційним модулю швидкості
Для цього випадку покладемо в (2.19) і і перейдемо від (2.19) до рівняння I порядку для траєкторій
, (2.25)
Очевидно, що особливі точки, що відповідають станам рівноваги, мають місце при , де - будь-яке ціле число, і . При права частина (2.25) приймає форму , і це відповідає особливості, званої центром (тип руху зо...
