/p>
що виражає нахил , дотичній до траєкторії в точці . Корисно відзначити, що у верхній півплощині збільшується із зростанням , і, отже, зображає точка рухається зліва направо із зростанням . Навпаки, при зображає точка рухається справа наліво. Через присутність в (2.20) неможливо, взагалі кажучи, розділити змінні і отримати криві енергії. Є деяке перевагу в заміні одного рівняння (2.20) двома диференціальними рівняннями першого порядку
, (2.21)
які визначають векторне поле з компонентами . Вектор поля завжди дотичних до фазової траєкторії і вказує, куди вздовж неї рухається зображає точка [ ] на фазовій площині < span align = "justify"> із зростанням . Однак це полі не має напрямку в точках, де чисельник і знаменник (2.20) одночасно звертаються в нуль, тобто при . З (2.21) видно, що компоненти векторного поля дорівнюють нулю в таких точках, званих особливими точками рівняння (2.20). Що стосується фізичної ситуації, то особлива точка відповідає положенню рівноваги з нульовою швидкістю. Такі особливості зустрічалися у разі маятника без тертя - при . Природа особливостей представляє вирішальний фактор при визначенні якісного характеру рішень, а також існування періодичних рішень.
У роботах Пуанкаре [4] показано, що повного опису типів особливостей можна досягти, розібравши поведінка фазових траєкторій в околиці ізольованою особливої вЂ‹вЂ‹точки диференціального рівняння
, (2.22)
яке виходить із системи двох рівнянь
. (2.22 - a)
Нагадаємо, що під особливістю рівняння (2.22) розуміється особлива точка , в околиці якої функція < span align = "justify"> перестає бути безперервною і задовольняти умові Ліпшиця. Очевидно, точка рівноваги ( ), для якої, , є особливою. Зазначимо, що рівняння (2.22) [або система (2.22 - а)] є більш загальним, ніж (2.20) [або (2.21)], і переходить в нього в окремому випадку, коли .
Нехай константи і такі, що , а...
