в просторі). Рівність ? 1 =? 2 означає, що ми маємо еліптичний параболоїд з рівними параметрами р = q, тобто параболоїд обертання.
Нехай тепер ? = 0, значить, і a 3 = 0. Тоді великий ранг R? 3. Рівняння (I ') у цьому випадку набуває вигляду
(3)
Застосуємо до цього рівняння перетворення паралельного переносу
В
Тоді будемо мати
(4)
В
Визначаючи х ' 0 і у' 0 з рівнянь
В
наведемо рівняння (4) до вигляду
(III)
причому R = 3, якщо а ' 0 ? 0, і R = 2, якщо а' 0 = 0. Рівняння (1) задає (у системі координат O'x "y" z ") циліндр над що у площині z" = 0 центральної кривої другого порядку, що має (у прямокутній системі координат О'х "у") теж рівняння (III) . При R = 3 (тобто а ' 0 ? 0) ця крива нераспадающіхся, при R = 2 вона розпадається на пару прямих, а циліндр (III) вироджується в пару пересічних площин. Будь-яка площину z "= h перетинає циліндричну поверхню (III) по кривій, що має те ж рівняння (III), в площині z" = h (у системі координат з початком О "= (0, 0, h) і тими ж напрямками осей х "і у", що і в координатної системі O'x "y" z "). Всі ці криві конгруентний між собою; досить знати одну з них, щоб циліндрична поверхня (III) була визначена. Нехай R = 3. Тоді півосі a, b кривої (III) (звані також полуосями циліндричної поверхні (III)), разом з її найменуванням, повністю визначають поверхню (III) з точністю до її положення в просторі і в свою чергу цілком визначаються нею. Щоб визначити півосі а, b за первісним рівнянням (I), треба тільки визначити а ' 0 . Для визначення числа а 'треба знайти якусь точку прямої центрів (з системи визначають її рівнянь у вихідній системі координат) і підставити координати цієї точки в ліву частину первинного рівняння поверхні. Отриманий результат не залежить від вибору точки на прямій центрів.
Переписуючи рівняння кривої (III) в канонічному вигляді, ми отримує...
