и чисто геометричність решение. Если Штейнеру не вдаватися найти геометричність решение, ВІН вважать завдання не вірішеною зовсім и не публікував решение. З цієї причини много теореми Штейнера дійшлі до нас без доказів.
розвязання. Мі вірішімо Завдання Штейнера для k точок на площіні. З незначна змінамі цею ж доказ годитися и для k точок у пространстве, и даже у пространстве R3 довільної розмірності. У цьом СЕНСІ решение задачі Штейнера універсально!
Рішення розіб ємо на кілька етапів. Отже, нехай на площіні дано k точок, A2, ..., Ak. Подивимось, Якими властівостямі винна володіті найкоротша система доріг, что з єднує ЦІ точки. Перше властівість й достатньо очевидно, и віпліває з того, что найкоротшім путем з однієї точки в іншу є відрізок прямої:
а) найкоротша система складається з відрізків.
Таким чином, найкоротша система доріг є плоским графом - про єднанням кінцевого числа відрізків. Кінці ціх відрізків - вершини графа, а самі відрізкі - его ребра. Дані точки A1 ,..., Ak ми будемо назіваті справжнімі вершинами цього графа, всі Інші его вершини (перехрестя доріг) - Додатковий. ЗА УМОВИ цею граф зв язній, тобто з будь-якої его вершини можна дістатіся по ребрах в будь-яку іншу. Більше того, цею граф однозв язній, тобто для будь-якої парі вершин існує єдиний шлях по ребрах, їх зв язує (при цьом всегда Вважаємо, что ніякий шлях не проходити двічі по одному ребру). Зв язній граф є однозв язній тоді и только тоді, коли ВІН НЕ містіть замкнутих Шляхів (доказ цього факту - проста вправа). Якби найкоротша система доріг НЕ булу однозв язною, то існував бі замкнутого шлях. Прибратися будь-яке ребро з цього шляху, ми отримавших б зв язній граф меншої Довжину.
Отже, найкоротшу систему доріг треба шукати среди однозв'язніх графів, Які містять дані крапки як вершин (Альо могут мати и додаткові вершини).
б) будь-які два ребра, віходячі з одної вершини, утворюють кут НЕ менше 120о.
Справді, если з вершини A Виходять ребра AB и AC, и кут между ними менше 120 ?, то ми Можемо замініті Цю пару ребер іншімі, такоже зв язують точки A, B и C, альо мают Меншем сумарная Довжину. Если в трикутнику ABC всі куті менше 120?, То поставімо одну Додатковий вершину T - точку Торрічеллі цього трикутника, з єднаємо ее з вершинами A, B и C, а ребра AB и AC пріберемо. Отрімаємо зв язній граф Меншем довжина. А если у трикутнику ABC, скажімо, кут при вершіні B более або дорівнює 120?, То прібіраємо ребро AC, а вместо него ставімие BC. Знову отрімаємо зв язній граф меншої Довжина (малий. 15).
Мал.15
З цієї Властивості безпосередно віпліває, что
в) Із справжньої вершини может віходити Одне, два або три ребра; если виходим два ребра, то кут между ними більшій або Рівний 120о; если три, то смороду утворюють между собою куті в 120о.
Більше трьох ребер віходити НЕ може, інакше одна з кутів буде менше 120?.
Таким чином, справжні вершини бувають трьох тіпів. З Додатковий вершинами праворуч идет простіше - всі смороду одного типом:
г) Із кожної додаткової вершини Виходять три ребра під кутамі 120о.
Дійсно, перший тип для додаткової вершини Неможливо (если з Додатковий вершини виходим только Одне ребро, то ця вершин не потрібна, тому что ее можна прібраті вместе с ребром), другий - такоже Неможливо (если додаткова вершина M з єднана ребрами только з двома вершинами B и C, то пріберемо ЦІ ребра разом Із самою вершиною M, а точки B и C з єднаємо ребром; отрімаємо зв'язного граф меншої довжина).
Варіаційні методи розв язання екстремальних завдань
Отже, ми розібралі безліч Завдання, и Кожна з них мала свое елегантная геометричність решение. На практике, на шкода, так виходе далеко не всегда. Много геометричні задачі на мінімум и максимум або зовсім НЕ мают геометричного решение, або їх геометричні решение істотно складніше аналітичних. Таким є стан промов, и ставити до него можна по-різному. З одного боці, це погано. З Іншого боці, ця обставинні всегда змушувало математіків шукати Нові шляхи вирішенню. У таких пошуках до кінця XVII століття народів І оформити новий напрямок математики, вставши в рівень з Алгебра і геометрією - математичний аналіз. Саме завданнях на максимум и мінімум, поряд Із Завдання механіки и оптики, математичний аналіз зобов'язаний своєю з'явиться. Принцип решение багатьох екстремальних задач зводу до простого и вместе с тім універсальному фактом:
У точці максимуму або мінімуму Функції ее похідна дорівнює нулю.
Це тверджень часто назівають теореми Ферма (Не плутаті з Великої теореми Ферма и з малою теореми Ферма в Теорії чисел!), оскількі самє П'єр Ферма Вперше сформулювано его в 1629 году в работе «Метод ві...
