дшукання найбільшіх и найменших значень ». Свій метод Ферма назвавши «De maximis et minimis» (нагадаємо, что наукові роботи в тій годину писати на латіні) i продемонстрував, як з его помощью можна вірішіті Завдання Евкліда: з усіх прямокутніків з Даними периметром найти тієї, Який має найбільшу площу. Треба Сказати, что ідея варіаційного методу в тій годину, что назівається, витала в повітрі. Много вчених розвивали цею метод. Например, Йоганн Кеплер, слова которого з трактату «Стереометрія вінніх бочок» ми вінесли в епіграф, або Ісаак Ньютон, что говорів что «коли величина є максимально або мінімальною, в цею момент вона НЕ тече ні вперед, ні назад». Нагадаємо, что похідної Функції f (x) в точці x назівається число a таке, что Мал..16
f (x + h)=f (x) + a · h +? (h) | h |,
де величина? (h) прагнем до нуля при h? 0. Похідну позначають символом f laquo ;, таким чином, f (x)=a.
Для й достатньо малих збільшень h функція f (x + h) набліжено дорівнює лінійної Функції f (x) + ah, причому чім менше h, тім це набліження точніше.
. Через Дану точку Всередині кута провести відрізок з кінцямі на сторонах кута, что має найменшого Довжину.
Дивно, что ця чисто геометрична завдання не має на Стільки ж ясного геометричного рішення. Всі більш-Менш Короткі ее решение Використовують похідну. Цікаво й том, что много схожі на неї Завдання-близнюки, Які, на перший погляд, даже складніше ее, мают Прості геометричні решение. Например, провести відрізок через Дану точку Всередині кута, відтінаючій від кута трикутник мінімальної площади або мінімального периметра.
розв язання. Позначімо найкоротшій відрізок через AB, а Дану фіксовану точку Всередині кута - через M. Проведемо через M Інший відрізок A B з вершинами на сторонах кута. Нехай?- Кут между A B и AB. Функція f (?)=A B досягає свого мінімуму в точці? =0, тому f (0)=0. застосувались теорему сінусів до ТРИКУТНИК MBB и MAA ', отрімаємо
;
отже,
Отже
.
Оскількі при? ? 0, и при цьом
,
отрімуємо залишково f '(0)=-MB ctg? + MA ctg?.
Альо так як f '(0)=0, для найкоротшого відрізка AB отрімуємо таку умову: ctg? =MA ctg?.
Що це означає геометрично? Нехай K - вершина кута. Опустімо перпендикуляр KH на AB. Неважко перевіріті, что
. З боці,, того MA=HB и MB=HA. Отже, малий .. 17
Мал .. 18
Найкоротшій відрізок AB характерізується Наступний властівістю: Проекція вершини кута на AB симетричного точці M відносно середини відрізка AB.
Чому ми лишь охарактерізувалі положення відрізка AB, а не дали способу его побудова? Праворуч у тому, что для довільного кута цею відрізок НЕ может буті побудованій помощью циркуля и лінійкі. Саме тому ця «проста» геометрична задача має настолько громіздке решение. Якби існувала така побудова, Пожалуйста знаходиься б найкоротшій відрізок для будь-которого кута, то воно годілося б і для прямого кута (малий. 28). Если кут K - прямий, то
.
З Іншого боці
де?- Кут между KM и KA (мі скорісталіся подібністю трікутніків APM и AKB). Отже,. Побудуваті відрізок AB означає найти кубічній корінь з числа tg?. Останнє, як известно, що не здійснімо помощью циркуля и лінійкі.
У екстремальних задачах й достатньо частою є ситуация, коли можливо только охарактерізуваті положення точки мінімуму (максимуму), но НЕ найти ее конструктивно.
Варіаційній метод можна застосовуваті и до завдання з декількома змінними, коли функція f (x) задана не так на прямий, а, скажімо, на площіні. При цьом x - точка на площіні з координатами (х1, x2). Похідна візначається за тім же принципом: похідної в даній точці x назівається вектор a=f '(x) такий, что
(x + h)=f (x) + a · h +? (h) | h |,
де h=(h1, h2) - довільній вектор, звань приростом аргументу x, число | h |=- его довжина, а величина? (h) прагнем до нуля при | h |? 0. Різниця только в тому, что вместо звічайна твори чисел тепер бере скалярні добуток векторів a · h, рівне добутку їх довжина на косинус кута между ними. У координатах скалярного твір віражається як a · h=a1h1 + a2h2. У точці мінімуму або максимуму Функції f ее похідна (если вона існує) дорівнює нулю.
Доведення. Справді, нехай f '(x)=a? 0. Тоді розглянемо прирощення h=ta, де t - позитивне число. ВРАХОВУЮЧИ, что a · ta=t | a | 2, отрімуємо
(x + ta)=f (x) + t | a | 2 + t | a |? (ta)=f (x) + t | a | (| a | +? (ta)).
При t? 0 величина? (Ta) прагнем до нуля, тому при малих t величина | a | +? (Ta) - позитивна, значити f (x + ta) gt; f (x). Таким чином, точка x НЕ є точ...
