ді, коли всі его куті менше 120?.
А если одна з кутів трикутника более або дорівнює 120? (например, кут A), то в Якій точці сума відстаней до вершин буде Мінімальна? Відповідь: в вершіні цього кута. Довести це просто. Нехай A? 120?, А M - довільна точка площини. Если M НЕ лежить Всередині кута A, то один з кутів MAC або MAB - тупий (нехай це кут MAC), а значити, MC gt; AC, з Іншого боці, за нерівністю трикутника, MA + MB gt; AB, тому MA + MB + MC gt; AB + AC.
Если ж M лежить Всередині кута A, то знову повернемо площинах на 60? (малий. 14), и отрімаємо, что трикутник BAD лежить Всередині чотірікутніка BMND, того периметр трикутника менше периметра чотірікутніка. Отже,
+ AC=AB + AD lt; BM + MN + ND=BM + AM + CM.
Мал. 14
Теорема Торрічеллі-Ферма-Штейнера. Если всі куті трикутника менше 120?, То точкою мінімуму суми відстаней до его вершин є точка Торрічеллі. Если ж одна з кутів более або дорівнює 120?, То такою точкою є вершина цього кута.
. Всі куті трикутника ABC менше 120 ?. На его сторонах у зовнішню сторону побудовані рівносторонні трикутники ABC laquo ;, BCA и CAB laquo ;. Тоді опісані окружності ціх трікутніків и відрізкі AA raquo ;, BB и CC перетінаються в одній точці - точці Торрічеллі. Крім того, AA =BB =CC '.
(теорема Наполеона). Центри опис Кіл трікутніків ABC laquo ;, BCA и CAB є вершинами рівностороннього трикутника (трикутника Наполеона). Чому дорівнює сторона трикутника Наполеона, если AA =c?
Це тверджень пріпісують Наполеону, хоча невідомо, чи має ВІН до него якесь відношення. Наполеон немного захоплювався геометрією и Цілком шанобліво ставівся до математики и математикам. Его оточувало много видатних математіків того годині - Лаплас, Монж, Фур'є. Однако много Історики вважають, что его авторство тверджень про рівносторонньому трикутнику - НЕ более чем міф, Створений придворний підлеснікамі.
. Если на сторонах даного трикутника побудуваті у внутрішню сторону рівносторонні трикутники, то їх центри такоже є вершинами рівностороннього трикутника (внутрішнього трикутника Наполеона). Різниця площ зовнішнього и внутрішнього трікутніків Наполеона дорівнює площади вихідного трикутника.
(теорема Помпею). Навколо рівностороннього трикутника ABC описана окружність. Если точка M лежить на меншій дузі AB цієї окружності, то MC=MA + MB. Для всіх других точок M площіні Виконаю нерівність MC lt; MA + MB.
. Доведіть, что сума відстаней від довільної точки Всередині рівностороннього трикутника до его сторон - величина Постійна. Помощью цього тверджень отрімаєте Інший доказ теореми Ферма-Торрічеллі-Штейнера.
Підказка. Через шкірні вершину трикутника проведіть пряму, перпендикулярну відрізку, что з'єднує Цю вершину з точкою Торрічеллі.Ці Прямі утворюють рівносторонній трикутник.
. На площіні дано две точки и пряма. Знайдіть точку, сума відстаней від якої до даних точок и до прямої Мінімальна.
. Дано опуклій чотірікутнік ABCD. Для якої точки площини сума відстаней до его вершин буде найменша? Відповідь ясна: для точки Перетин діагоналей. Нехай трикутник ABC - гострокутній. Уявімо, что вершина D наближається до вершини C. Тоді чотірікутнік ABCD прагнем до трикутника ABC, а точка мінімуму суми відстаней - точка Перетин діагоналей - прагнем до вершини C. У Межі отрімаємо, что вершина C - точка мінімуму суми відстаней для трикутника ABC. Альо ж насправді, як ми знаємо, мінімум суми відстаней до вершин трикутника ABC досягається в его точці Торрічеллі, а не у вершіні C. Протіріччя?
. Для трьох точок A, B и C на площіні Знайдіть таку точку M, для якої значення вирази а) AM + BM + 2CM; б) AM + BM-CM досягає найменшого значення.
Задача Штейнера
У пространстве дано k точок. З'єднати їх системою кривих найменша сумарної довжина. Це Завдання Було Вперше поставлено великим геометром Якобом Штейнером (1796-1863). Народжений у Швейцарии в селянській родіні Штейнер БУВ в математиці самоучкою. У віці двадцяти років ВІН переїхав до Німеччини, де и працював до кінця життя, спочатку в університеті Гейдельберга, а потім - Берліна. Внесок Штейнера в геометрію Величезне. Йому Належить безліч НОВИХ Ідей и красиво, іноді очень Важка теорем. ВІН Вперше довів, что трикутник з двома рівнімі бісектрісамі - рівнобедреній, что всі геометричні побудова, здійснімі помощью циркуля и лінійкі, могут буті здійснені помощью однієї лінійкі, если только нам дана хоча Бодна окружність и ее центр. Так звань Порізми Штейнера, або «намисто Штейнера», теорема про ланцюжок стосують Кіл, по праву вважається одним з найкрасівішіх тверджень геометрії. Як представник «чистої геометрії», ВІН БУВ Переконаний, что геометрію треба вівчаті умоглядно, без Залучення Обчислення. ВІН говорів, что «розрахунок замінює мислення, а геометрія, навпаки, це мислення зміцнює». На его Переконаний, шкірні геометрична задача винна мат...
