их зростання. p> Розглянемо порядок апроксимації часових рядів за допомогою поліномів, які відносяться до кривих I типу:
(1)
де AК (к = 0,1, ..., p) - параметри многочлена,
t - незалежна змінна (час).
Коефіцієнти поліномів невисоких ступенів можуть мати конкретну інтерпретацію залежно від змісту динамічного ряду. Наприклад, їх можна трактувати як швидкість росту (a1), прискорення росту (a2), зміна прискорення (a3), початковий рівень ряду при t = 0 (a0). p> Зазвичай в економічних дослідженнях застосовуються поліноми не вище третього порядку. Використовувати для визначення тренда поліноми високих ступенів недоцільно, оскільки отримані таким чином апроксимуючі функції будуть відображати випадкові відхилення (що суперечить змісту тенденції). p> Поліном першого ступеня на графіку зображується прямою і використовується для опису процесів, що розвиваються у часі рівномірно.
В
Поліном першого порядку (пряма)
Поліном другого ступеня застосуємо в тих випадках, коли процес розвивається равноускоренно (тобто мається равноускоренно зростання або равноускоренное зниження рівнів). Як відомо, якщо параметр a2> 0, то гілки параболи спрямовані вгору, якщо ж a2 <0, то вниз. Параметри a0 і a1 не впливають на форму параболи, а лише визначають її становище. br/>В
Поліном другого порядку (парабола)
Поліном третього ступеня має вигляд. У цього полінома знак приросту ординат може змінюватися один або два рази, тобто така крива має точку перегину. p> Відмінна риса поліномів - відсутність в явному вигляді залежності приростів від значень ординат.
Оцінки параметрів моделей визначаються методом найменших квадратів. Суть цього методу полягає в тому, що вибирається така модель і такі її параметри, при яких сума квадратів відхилень розрахункових значень рівнів від фактичних значень буде мінімальною. Таким чином, оцінки параметрів кривої зростання перебувають в результаті мінімізації функції:
, (2)
де - фактичне значення часового ряду в момент часу t;
- розрахунковий (теоретичне) значення часового ряду в момент часу t;
n - довжина часового ряду.
Існує ряд модифікацій методу найменших квадратів, детально описаного в літературі з математичної статистики.
В результаті мінімізації виразу (2) будується система нормальних рівнянь. Система складається з (p +1) рівнянь, що містять в якості невідомих величин (p +1) коефіцієнтів. Рішення цієї системи дозволяє обчислити оцінки шуканих коефіцієнтів (параметрів) моделей. [15]
Оцінювання параметрів моделей
Система нормальних рівнянь для оцінювання параметрів прямої складається з двох рівнянь:
(3)
Для параболи другого порядку система містить три рівняння, що дозволяють знайти оцінки трьох невідомих коефіцієнтів:
(4)
Існує підхід до спрощення розрахунків...
