налізу нестаціонарних сигналів і для багатьох завдань подібного роду виявляється ефективнішим, ніж перетворення Фур'є.
Перетворення Фур'є розкладає сигнал на складові у вигляді синусів і косинусів, тобто функцій, локалізованих в Фур'є-просторі; навпаки, вейвлет-перетворення може бути виражене інтегральним перетворенням (1.40), де символ заперечення означає комплексну спряженість і - деяка функція. Функція може бути вибрана довільно, але вона повинна відповідати певним правилам.
Як видно, вейвлет-перетворення насправді є нескінченним безліччю різних перетворень залежно від оціночної функції, використаної для його розрахунку. Можна використовувати ортогональні вейвлети для розробки дискретного вейвлет-перетворення і неортогональні вейвлети для безперервного. Ці два види перетворення мають наступні властивості:
. Дискретне вейвлет-перетворення повертає вектор даних тієї ж довжини, що і вхідний. Зазвичай, навіть у цьому векторі багато даних майже рівні нулю. Це відповідає факту, що він розкладається на набір вейвлетів (функцій), які ортогональні до їх паралельного переносу і масштабированию. Отже, ми розкладаємо подібний сигнал на те ж саме або меньшое число коефіцієнтів вейвлет-спектр, що й кількість точок даних сигналу. Подібний вейвлет-спектр застосуємо для обробки і стиснення сигналів, наприклад, оскільки ми не отримуємо тут немає надлишкової інформації.
. Безперервне вейвлет-перетворення, навпаки, повертає масив на один вимір більше вхідних даних. Для одновимірних даних ми отримуємо зображення площині час-частота. Можна легко простежити зміну частот сигналу на протязі тривалості сигналу і порівняти цей спектр зі спектрами інших сигналів. Оскільки тут використовується неортогональні набір вейвлетів, дані високо коррелірованни і володіють великою надмірністю. Це допомагає бачити результат в ближчому людському сприйняттю вигляді.
Дискретне вейвлет-перетворення
Дискретне вейвлет-перетворення (DWT) - реалізація вейвлет-перетворення з використанням дискретного набору масштабів і переносів вейвлета, що підкоряються деяким певним правилам. Іншими словами, це перетворення розкладає сигнал на взаємно ортогональний набір вейвлетів, що є основною відмінністю від безперервного вейвлет-перетворення (CWT), або його реалізація для дискретних часових рядів, іноді званої безперервним вейвлет-перетворенням дискретного часу (DT-CWT).
Як показано раніше, вейвлет може бути сконструйований з функцій масштабу, яка описує властивості його масштабованості. Обмеження, що функція масштабу повинна бути ортогональна до своїх дискретним перетворенням, має на увазі деякі математичні обмеження на них, які скрізь згадуються, тобто рівняння гомотетии
де - фактор масштабу (зазвичай вибираємо як 2).
Більше того, площа під функцією повинна бути нормалізована і функція масштабування повинна бути ортогональна до своїх чисельним переносам, тобто
.
Після введення деяких додаткових умов (оскільки вищезазначені обмеження не призводять до єдиного рішення) можна отримати результат всіх цих рівнянь, тобто кінцевий набір коефіцієнтів, які визначають функцію масштабування, а також вейвлет. Вейвлет виходить з масштабується функції як, де - парне ціле. Набір вейвлетов потім формує ортогональний базис, який ми використовуємо для розкладання с...
