гати виконання умов
(1.71)
оскільки інші умови ортогональності виконуються автоматично в силу діз'юнктності носіїв.
Підставляючи уявлення (1.70) в (1.71), отримаємо однорідну систему рівнянь з невідомими,
, (1.72)
яка завжди має нетривіальне рішення. Знаходячи це нетривіальне рішення, отримуємо шуканий набір коефіцієнтів і функцію у вигляді (1.70).
З подання (1.70) і визначення-сплайнів випливає, що, тобто містить суміжних часткових відрізка. Теорема наведена нижче показує, що не можна побудувати вейвлет з меншою довжиною носія.
Теорема 1.2. Нехай, і функція виду
(1.73)
задовольняє умовам
. (1.74)
Тоді.
Слідство 1. Сукупність функцій лінійно незалежна на кожному відрізку (тобто лінійно незалежні їх звуження на кожен такий відрізок).
Справедлива формула тобто сукупність побудованих вейвлет-функцій виходить зрушенням однієї єдиної функції. Таким чином, побудована сукупність полуортогональних лінійно незалежних вейвлетов. Однак розмірність ортогонального доповнення дорівнює, тобто до базису в нам не вистачає рівно функцій. Побудуємо відсутні вейвлет-функції. Для цього розглянемо функції при на розширеному розбитті. Першу групу з відсутніх вейвлет будемо шукати у вигляді:
(1.75)
(1.76)
де скалярний твір розуміється в сенсі.
Підставляючи (1.75) в (1.76), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(1.77)
(1.78)
для визначення. Матриця системи (1.77) невирождени, тому що в противному випадку існувало б нетривіальне рішення відповідної однорідної системи, що означало б, що функція є вейвлет-функцією на з носієм, що неможливо в силу формули. Вирішуючи систему (1.78), отримуємо, що функція (1.75) є шуканої вейвлет-функцією, так як ортогональность к-сплайнів при має місце в силу ортогональності ним усіх вейвлет з лінійної комбінації (1.75), а при - в силу умов (1.76) . Тим самим побудували сукупність вейвлет-функцій (1.75). Їх лінійна незалежність з раніше побудованими функціями випливає з виду (1.75) і наслідки з теореми 1.2. Другу групу з відсутніх вейвлет будемо шукати у вигляді
, (1.79)
з умов
(1.80)
де скалярний твір розуміється в сенсі.
Підставляючи (1.79) в (1.80), отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь
(1.81)
визначення. Вирішуючи систему (1.81), отримуємо, що функція (1.79) є шуканої вейвлет-функцією. Тим самим ми побудували сукупність вейвлет-функцій (1.79). Разом з функціями (1.70) і (1.75) вони утворюють шуканий базис в, якщо.
В якості базису в виберемо сукупність «усічених» B-сплайнів
. (1.82)
Отже, сукупність функцій (1.82) і (1.81), (1.75), (1.79) при утворює шуканий вейвлет-базис в просторі.
Для функцій (1.79) і (1.82) при чинності симетрії справедлива формула
.
фур'є вейвлет wavelet toolbox
2. Застосування вейвлет-перетворень для розв'язання інтегральних рівнянь
.1. Дискретне і безперервне вейвлет-перетворення
Вейвлет-перетворення (або дискретні хвильові перетворення) застосуються, головним чином, для а...
